奇数阶幻方的构造与特征值分析.pdfVIP

第 36卷 第 1期 Vo1．36 No．1 2014 文章编号 ：1007—6735(2014)01—0001—04 奇数阶幻方的构造与特征值分析 刘 乐乐 (上海理工大学 理学院，上海 200093) 摘要：对奇数阶幻方的一种构造方法进行改造，利用循环矩阵和对称循环矩阵的性质对奇数阶幻 方的特征值进行分析，同时给出了奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式，并最终否定了一些学者 关于幻方特征值的猜测． 关键词：幻方；循环矩阵；对称循环矩阵；特征值 中图分类号：0151．2 文献标志码：A C0nstructionofOddOrderM agicSquares andItsEigenvalueAnalysis klU le (CollogeofScience，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China) Abstract：Themethodforconstructingoddordermagicsquareswasreforflaedandtheeigenvalues ofodd ordermagic squareswere analyzed basedOn the propertiesofcirculant、martices and symmetriccirculantmatricesMeanwhile，theunifiedcalcul~ltionformulaweregivenout．Itisalso foundthatsomeconjecturesabouthteeigenvaluesofma csquaresaren0tcorrect． Keywords：m csquare；circulantmatrix；symmetriccirculantma trix eigenvalue 角线之和均为同一个数 8，这样的矩阵称为幻方矩 1 问题的提出 阵(或魔方矩阵)，简称为幻方，8为幻方值． 显然，n阶幻方中所有整数的和为 关于幻方的研究由来已久，中国古书 《易经》中 1+2+ … + 竹2= ! 记载的洛书是世界上最早的幻方．随后，幻方传人世 按照幻方的定义即知 2s=n(n +1)． 界各地，引起了广泛关注，取得了许多成果．幻方不 文献1-4]通过对幻方矩阵特征值的分析，给出了 仅具备美感，还蕴含着许多奇特的奥秘，具体可参看 一 种构造奇数阶非奇异幻方的方法，但并未给出其 文献[1—3]．随着计算机的快速发展，幻方广泛应用 特征值的计算公式．文献[5]给出了幻方的精彩应用 于人工智能、图像处理、图论及对策论等方面． 案例．文献[6]讨论了奇数阶幻方的一种构造方法． 定义 1 对任意的正整数 ≥3，将 1，2，…，n 除此之外，幻方的构造方法还有很多，在文献[2]中 填人 n×n的矩阵中，使得矩阵的每行、每列及对 有详细的介绍．文献r7]给出了利用线性空间理论来 收稿 日期 ：2013—01—18 第一作者 ：刘乐乐(1988一)，男，硕士研究生．研究方向：半群理论．E-mail：ahhylau@163．corn 2