2014人教A版数学必修5“基本不等式”的应用课件.pptVIP

第三章　 第三章　不等式 系列丛书 进入导航 第三章 3.4 第2课时 系列丛书 进入导航 不等式 第2课时　基本不等式的应用 课 时 作 业 课前自主预习 课堂互动探究 随堂知能训练 课 主 自 前 预 习 课 动 互 堂 探 究 * * 1.理解并掌握基本不等式及变形应用．2.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩 课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标 1．运用不等式求一些最值问题． 用a＋b≥2求最小值；用ab≤()2≤求最大值． 新知初探 2．若p，k为常数，a，b是正实数，则 (1)若a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值； (2)若a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值. 2 p2 3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： (1)要求各数均为正数； (2)要求“和”或“积”为定值； (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“”． 一正、二 定、三相等 1．利用基本不等式求最值应注意什么？ 思考感悟 提示：利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x，y一定要都是正数； (2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值； (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”． 2．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？ 提示：不一定．如＋中，虽然与的积为定值1.但当＝时有x2＝－1不成立． ＋≥2中等号不成立． 3．多次使用基本不等式应注意什么问题？ 提示：运用基本不等式时，“正、定、等”缺一不可，但有些题中由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解． 例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升 类型一 利用基本不等式求最值 [例1]　(1)若x0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； (2)设0x，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x2，求x＋的最小值； 典例导悟 [分析]　利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之． [解]　(1)当x0时，x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号． 函数y＝x＋(x0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0x，3－2x0， y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[]2＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∈(0，)． 函数y＝4x(3－2x)(0x)的最大值为. (3)∵x2，x－20， x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． 所以x＋的最小值为6. [点评]　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 变式训练1　(1)设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400　　　　　　　　　B．100 C．40 D．20 (2)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　) A．10 B．25 C．5 D．2 (3)已知x3，则f(x)＝＋x的最大值是________． 解析：(1)xy≤()2＝400，当且仅当x＝y＝20时等号成立． (2)a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立． (3)x3， x－30. f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－[＋(3－x)]＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号． f(x)的最大值为－1. 答案：(1)A　(2)D　(3)－1 [例2]　求f(x)＝＋1的最小值． [分析]　如果把f(x)＝＋1写成＋1＝＋＋1≥2＋1＝3，求得f(x)的最小值为3，则所得结果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实上方程＝无解，所以等号不成立．正确的处理方法是利用函数单调性求最值． [解]　f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1. 令t＝(t≥)， 则原函数变为y＝t＋＋1，在区间[，＋∞)上是增函数，所以当t＝时，y＝t＋＋1取得最小值＋1. 所以，当t＝，即x＝0时， f(x)＝＋1取得最小值＋1. 变式训练2　已知x(0，π)，则y＝sinx＋的最小值是________． 解析：方法1：x∈(0，π)，sinx∈(0,1]， y＝sinx＋＋≥2＋＝2＋≥2＋＝5.