2014人教A版数学必修5 第1章1.2 “应用举例”第2课时正、余弦定理在3角形中的应用课件.pptVIP

[悟一法] 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用． * 返回 1.2 应用举例 第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用 课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关 第一章 解三角形 考点一 考点二 考点三 N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测 返回 [小问题·大思维] 1．在△ABC中，若已知三边a，b，c，如何求该三角形 的面积？ 提示：先利用余弦定理求出cos A或cos B或cos C的值，然后利用平方关系求出相应角的正弦值sin A或sin B或sin C，最后代入公式求解． 2．如何利用三角形的面积公式(1)推导出面积公式(2)和(3)？ (以锐角△ABC为例) [研一题] [例2]　如图，在△ABC中，已知 B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10， AC＝14，DC＝6，求AB的长． [悟一法] 三角形中的几何计算问题的解题要点及突破关键： (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件． [通一类] 2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°， ∠ADB＝45°，求BD的长． 返回 [读教材·填要点] 1．正弦定理的推论 在ABC中，＝＝＝2R(R为ABC的外接圆的半径)． 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)； (2)S＝absin C＝＝； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． acsin B bcsin A 提示：如图 作ADBC，垂足为D. 则SABC＝BC·AD 又AD＝AB·sin B， S△ABC＝BC·AB·sin B＝acsin B. ②如图， SABC＝SABI＋SACI＋SBCI ＝AB·r＋AC·r＋BC·r ＝(AB＋AC＋BC)r＝(a＋b＋c)r. [研一题] [例1]　在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝. (1)求sin C的值； (2)求ABC的面积． [自主解答]　(1)因为角A，B，C为ABC的内角， 且B＝，cos A＝，所以C＝－A，sin A＝. 于是sin C＝sin ＝cos A＋sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，sin C＝. 又因为B＝，b＝， 所以在ABC中，由正弦定理得a＝＝. 于是ABC的面积S＝absin C ＝×××＝. [悟一法] (1)在求解三角形面积时，除用公式S＝×底×高外，常用S＝absin C＝acsin B＝bcsin A求解． (2)解决此类问题时，常先用正、余弦定理解三角形，进而用公式求三角形的面积． [通一类] 1．在ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝，且AD＝BD，求ABC的面积． 解：如图，设CD＝x，则AD＝BD＝5－x. 由余弦定理可知， cosCAD＝＝＝， 解得x＝1. 在CAD中，由正弦定理可知，＝， sin C＝·＝4＝. S△ABC＝AC·BC·sin C＝×4×5×＝. 所以ABC的面积是. [自主解答]　在ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cosADC＝＝＝－， ADC＝120°，ADB＝60°. 在ABD中，AD＝10，B＝45°，ADB＝60°， 由正弦定理得＝， AB＝＝＝＝5 . 解：在ABC中，AB＝5，AC＝9，BCA＝30°， 由正弦定理，得＝， sinABC＝＝＝. 因为ADBC， 所以BAD＝180°－ABC， 于是sinBAD＝sinABC＝， 同理，在ABD中，AB＝5， sinBAD＝， ADB＝45°，解得BD＝. [研一题] [例3]　在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.求证：＝. [自主解答]　法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， 得a2－b2＝b2－a2＋2c(acos B－bcos A)， 即a2－b2＝c(acos B－bcos A)， 变形得＝＝cos B－cos A， 由正弦定理＝＝ 得＝，＝， ＝＝. 法二：＝ ＝cos B－cos A， 由正弦定理＝＝， 得：＝，＝， 由余弦定理推论得， cos B＝，cos A＝， 代入上式得 ＝·－· ＝－ ＝＝. 原等式成立． [通一类] 3