高考数学(理)一轮复习配套讲义选修4-4第1讲坐标系.docVIP

第1讲　坐标系 [必威体育精装版考纲] 1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程. 知 识 梳 理 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝. 2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ； (3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ. 诊 断 自 测 1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________． 2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 3．(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________． 4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________． 5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρR)的距离是________． 考点一　极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标； (2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标． 解　(1)x＝－5cos ＝－，y＝－5sin ＝－， 点M的直角坐标是. (2)ρ＝＝＝2， tan θ＝＝. 点M在第三象限，ρ＞0，最小正角θ＝. 因此，点M的极坐标是. 规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标； (2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 考点二　直角坐标方程与极坐标方程的互化 【例2】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 解　(1)ρcos＝1， ρcos θ·cos ＋ρsin θ·sin ＝1. 又，x＋y＝1. 即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0. 令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝. M(2,0)，N. M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为. (2)M，N连线的中点P的直角坐标为， P的极角为θ＝. 直线OP的极坐标方程为θ＝(ρR)． 规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境． 【训练2】 O1和O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程． 考点三　曲线极坐标方程的应用 【例3】 (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长． 解　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.故所求弦长为4. 规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离