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解答几何空间直角坐标系
第5讲 空间直角坐标系
★知识梳理★
1.右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则:轴、轴、轴互相垂直,分别指向右手的拇指、食指、中指;
②已知点的坐标作点的方法与步骤(路径法):
沿轴正方向(时)或负方向(时)移动个单位,再沿轴正方向(时)或负方向(时)移动个单位,最后沿轴正方向(时)或负方向(时)移动个单位,即可作出点
③已知点的位置求坐标的方法:
过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于,点在轴、轴、轴的坐标分别是,则就是点的坐标
2、在轴上的点分别可以表示为 ,
在坐标平面,,内的点分别可以表示为 ;
3、点关于轴的对称点的坐标为
点关于轴的对称点的坐标为 ;
点关于轴的对称点的坐标为 ;
点关于坐标平面的对称点为 ;
点关于坐标平面的对称点为 ;
点关于坐标平面的对称点为 ;
点关于原点的对称点为 。
4. 已知空间两点,则线段的中点坐标为
5.空间两点间的距离公式
已知空间两点,
则两点的距离为 ,
特殊地,点到原点的距离为 ;
5.以为球心,为半径的球面方程为
特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为
★重难点突破★
重点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置,会推导和使用空间两点间的距离公式
难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,认识空间点的对称及坐标间的关系
重难点: 在空间直角坐标系中,点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用
1.借助空间几何模型进行想象,理解空间点的位置关系及坐标关系
问题1:点到轴的距离为
2.将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系
问题2:对于任意实数,求的最小值
3.利用空间两点间的距离公式,可以解决的几类问题
(1)判断两条相交直线是否垂直
(2)判断空间三点是否共线
(3)得到一些简单的空间轨迹方程
★热点考点题型探析★
考点1: 空间直角坐标系
题型1: 认识空间直角坐标系
[例1 ](1)在空间直角坐标系中,表示 ( )
A.轴上的点 B.过轴的平面
C.垂直于轴的平面 D.平行于轴的直线
(2)在空间直角坐标系中,方程表示
A.在坐标平面中,1,3象限的平分线 B.平行于轴的一条直线
C.经过轴的一个平面 D.平行于轴的一个平面
题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题
[例2 ] 点关于轴的对称点为,点关于平面的对称点为,则的坐标为
【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为
【新题导练】
1.已知正四棱柱的顶点坐标分别为,,则的坐标为 。
2.平行四边形的两个顶点的的坐标为,对角线的交点为,则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为
3.已知,记到轴的距离为,到轴的距离为,到轴的距离为,则( )
A. B. C. D.
考点2:空间两点间的距离公式
题型:利用空间两点间的距离公式解决有关问题
[例3 ] 如图:已知点,对于轴正半轴上任意一点,在轴上是否存在一点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
【名师指引】在空间直角坐标系中,利用距离可以证明垂直问题。此外,用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。
【新题导练】
4.已知,当两点间距离取得最小值时,的值为 ( )
A.19 B.
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