北师大版必修4高中数学2.7“向量应用举例”课件.pptVIP

共线(点)问题 证明共线(点)问题的策略 解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相关参数的值. 【例】如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ 【审题指导】由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可． 【规范解答】设 则 ∵ 与 共线, ∴存在实数m，使得 又∵ 与 共线, ∴存在实数n，使得 由 得 整理得 由于向量 不共线，所以有 解得 所以 同理 于是 所以AR＝RT＝TC． 【变式备选】已知P是△ABC所在平面内一点,AP的中点为 Q,BQ的中点为R,CR的中点为S.证明:只有唯一的一点P使得 S与P重合. 【解题提示】要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量 可用一组基底唯一表示. 【解析】设 则 由题设知: 即 由于 是确定的向量，所以 是唯一的一个向量，即 △ABC所在平面内只有唯一的一点P使得S与P重合. 【典例】(12分)如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a 的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹角θ取何值时 的值最大？并求出这个最大值. 【审题指导】解答本题可采用两种思路：一是利用基向量 法，把 表示成参数a的函数，利用函数思想求解；二 是坐标法，建立适当的坐标系，表示出相关点的坐标，利用 数量积的定义求解 ，最后利用函数思想求最值. 【规范解答】方法一： ……………………10分 故当cos θ=1，即θ=0( 与 方向相同)时， 最大.其最大值为0. ………………………………………12分 方法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. ………………………………………………………………… 2分 设AB=c,AC=b，则A(0,0),B(c,0),C(0,b), 且PQ=2a,BC=a. …………………………………………4分 设点P的坐标为(x,y)，则Q(-x,-y). =-(x2+y2)+cx-by. …………………………………………6分 ∴cx-by=a2cos θ. …………………………………………………………………10分 故当cosθ=1，即θ=0( 与 方向相同)时， 最大，其最大值为0. ………………………………………………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】(2011·苏州高一检测)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 又点A(8,0),B(n,t)，C(ksinθ,t) (1)若 且 求向量 ； (2)若向量 与向量 共线，当k＞4时，且tsinθ取最大值 4时，求 【解析】(1) 由 得n-8+2t=0 又 故(n-8)2+t2=5×64 解得 ∴ =(24，-8)或(-8,8). (2)∵ =(ksinθ-8,t),由 可知 2ksinθ-16=t(*) ∵k＞4， 且sinθ∈［0,1］,结合tsinθ的图象 可知，显然当sinθ=1时，tsinθ取得最大值，此时有 2k-16=4，解得k=10,代入(*)得t=4,∴C(10,4). 7C中小学课件 课堂讲练互动 直线的方向向量和法向量 利用方向向量及法向量求直线方程的关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系,常用结论如下: (1)所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直. (2)所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行. 【例1】已知点A(-1，2)，直线l:4x-3y+9=0. 求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线方程. 【审题指导】思路一：先由直线的方程找到直线的方向向 量 ,再设所求直线上一点P，(1)利用