北师大版必修4高中数学1.4.11.4.2“任意角的正玄函数余弦函数的定义 单位圆与周期性”课件.pptVIP

【例3】已知函数f(x)对任意实数x，都有f(x+m)=-f(x)，求证：函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期. 【审题指导】要证函数f(x)是周期函数，就是要找到一个常数T，使对于任意实数x，都有f(x+T)=f(x)，可根据f(x+m)=-f(x)推导寻找. 【规范解答】∵函数f(x)对任意实数x，都有f(x+m)=-f(x) ∴f(x+2m)=f［(x+m)+m］ =-f(x+m) =-［-f(x)］ =f(x). ∴函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期. 【互动探究】把本例中的“f(x+m)=-f(x)”改为“ ”，试求证：函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期. 【证明】∵函数f(x)对任意实数x，都有 ∴f(x+2m)=f[(x+m)+m] ∴函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期. 【典例】(12分)(2011·琼海高一检测)已知f(x)是定义在R 上的奇函数且周期为2，若当x∈[0,1)时，f(x)=2x-1,求 的值. 【审题指导】由题意得，对于任意实数x都有f(x+2)=f(x)， f(-x)=-f(x)，而 ,需要利用已知条件进行转化. 【规范解答】 ………………………………2分 因为周期函数f(x)周期为2， 所以f(x+2)=f(x) ………………………………………4分 故 …………………6分 又函数f(x)是定义在R上的奇函数 所以 =-f(log23-1) …………………………………………8分 由1＜log23＜2知0＜log23-1＜1………………………10分 因为当x∈[0,1)时，f(x)=2x-1 所以 …………………11分 …………………………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】(2010·安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2，则f(3)-f(4)=( ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 【解析】选A.由题意得f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1) =-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 1.角α的终边与单位圆相交于点 ，则cosα的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由三角函数的定义知cosα=x= . 2.已知 ， ，则角α终边所在的象限是( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选D.由 ， ，结合正弦、余弦 函数的定义知,角α终边在第四象限. 7C中小学课件 课堂讲练互动 用任意角的正弦函数、余弦函数 的定义求值 求任意角的正弦函数、余弦函数的值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用 正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. (2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射 线上任意一点坐标(a,b)，则对应角的正弦值 , 余弦值 . 由相似三角形的性质知,任意角α的正弦(或余弦)函数值只与α的大小有关，而与终边上的点P的位置无关. 【例1】已知角θ的终边上有一点P( ，m)，且sinθ= m，求cosθ的值. 【审题指导】由已知条件得θ的终边可能在第二象限、第 三象限或x轴负半轴上，因此在解答本题时，关键是要注意 分类讨论. 【规范解答】由已知得r=|OP|= 解之得m=0或m= (1)当m=0时，r= (2)当m= 时，r= (3)当m= 时，r= 【变式训练】角α的终边上存在一点P ,且cosα ＞0，求sinα+cosα的值. 【解析】∵cosα＞0，又 与 异号， ∴α是第四象限角，∴m＜0. 【误区警示】解答本题容易忽视对m的符号的判断. 1.正弦函数值的符号记忆口诀——“上正下负”. 其含义是终边在x轴上方的角的正弦值为正，终边在x轴下方的角的正弦值为负. 2.余弦函数值的符号记忆口诀——“左负右正”. 其含义是终边在y轴左侧的角的余弦值为负，终边在y轴右侧的角的余弦值为正. 三角函数值的符号问题 【例