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解析几何专题二(焦点弦和焦点三角形)
专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题
【焦半径——椭圆】
【焦半径——双曲线】
(1) 单支焦点半径
(2) 双支焦点半径
【焦半径——抛物线】
【焦点弦有关推论——椭圆】
1、过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点,则
2、过双曲线的焦点F的直线分别与两支交于A,B,与焦点轴夹角为
3、过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点,与焦点轴夹角为
4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点,过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为,且。
当焦点内分弦时,有
当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线),有?面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角
【椭圆】
【双曲线焦△?面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角
【抛物线焦点弦与原点△?面积】
【焦点△?顶角】
椭 圆:
双曲线:
一、焦半径与焦点弦
【焦半径——椭圆】
分析:如上左图,
分析:如上右图,
分析:如上左图,
分析:如上右图,
【焦半径——双曲线】
内部焦点半径
外部焦点半径
分析:如上左图,
分析:如上右图,
同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)
【焦半径——抛物线】
从上图容易得出以下结论
从上图分析
【焦半径与焦点弦有关推论】
【推论1】——常用来求定值
过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点,则
过双曲线的一焦点F的直线分别与两支交于A,B,与焦点轴夹角为
过抛物线的一焦点F直线交抛物线于A,B两点,与焦点轴夹角为
【推论2】————常用来求定角或斜率
已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点,过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为,且。
当焦点内分弦时,有
当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线),有
【(2)分析证明】
【焦半径与焦点弦有关例题】
例1 (2009年高考福建卷理科第13题)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,若线段的长为8,则___
【解】 由抛物线焦点弦的弦长公式为得,,解得。
例2(2010年高考辽宁卷理科第20题)已知椭圆的右焦点为,经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点,已知。
(1)求椭圆的离心率;(2)若,求椭圆方程。
【解】 (1)这里,,由定理1的公式得,解得。
(2)将,代入焦点弦的弦长公式得,,解得,即,所以①,又,设,代入①得,所以,所以,故所求椭圆方程为。
例3(2007年重庆卷第16题)过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为___
【解】 易知均在右支上,因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以。由焦半径公式得,
。
例4 (由2007年重庆卷第16题改编)过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为___
【解】 因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以。注意到分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得, 。
例5 (2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为___
【解】 设直线与焦点所在的轴的夹角为,则,又,代入公式得,所以。
例6(自编题)已知双曲线的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若,则___
【解】 这里,,因直线与左右两支相交,故应选择公式,代入公式得,所以所以,所以。
例7(2009年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点。若,则的离心率为( )
【解】这里,所以,又,代入公式得,所以,故选。
例8 (2007年高考全国卷Ⅰ)如图6,已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且。求四边形面积的最小值。
图6
【解】 由方程可知,,则。
设直线与轴的夹角为,因为,所以直线与轴
的夹角为。代入弦长公式得,
,。故四边形的面积为,。
所以四边形面积的最小值为。
二、圆锥曲线中的焦点三角形面积
【椭圆焦三角形】
【分析】
设|OM|=q
【双曲线焦点三角形】
【抛物线原焦弦三角形】
同样焦点在y轴上时
三、圆锥曲线中的焦点三角形顶角问题
【椭圆】
【分析】
也可利用向量来证明x的取值范围
【双曲线】原理同椭圆,可求出x的取值范围
【启发例题】
例 点M是椭圆(ab0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.
’M是等腰直角三角形
【解二】若等腰△PQM是直角三角形则PQ=2c
A
B
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