解析几何专题二(焦点弦和焦点三角形).docVIP

专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题 【焦半径——椭圆】 【焦半径——双曲线】 (1) 单支焦点半径 (2) 双支焦点半径 【焦半径——抛物线】 【焦点弦有关推论——椭圆】 1、过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则 2、过双曲线的焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为 3、过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。 当焦点内分弦时，有 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有?面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角 【椭圆】 【双曲线焦△?面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角 【抛物线焦点弦与原点△?面积】 【焦点△?顶角】 椭 圆: 双曲线: 一、焦半径与焦点弦 【焦半径——椭圆】 分析：如上左图, 分析：如上右图, 分析：如上左图, 分析：如上右图, 【焦半径——双曲线】 内部焦点半径 外部焦点半径 分析：如上左图, 分析：如上右图, 同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论) 【焦半径——抛物线】 从上图容易得出以下结论 从上图分析 【焦半径与焦点弦有关推论】 【推论1】——常用来求定值 过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则 过双曲线的一焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为 过抛物线的一焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为 【推论2】————常用来求定角或斜率 已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。 当焦点内分弦时，有 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有 【（2）分析证明】 【焦半径与焦点弦有关例题】 例1 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 【解】 由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 例2（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。 （1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。 【解】 （1）这里，，由定理1的公式得，解得。 （2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。 例3（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 【解】 易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。 例4 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 【解】 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得， 。 例5 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 【解】 设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例6（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 【解】 这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。 例7（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（ ） 【解】这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例8 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。 图6 【解】 由方程可知，，则。 设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴 的夹角为。代入弦长公式得， ，。故四边形的面积为，。 所以四边形面积的最小值为。 二、圆锥曲线中的焦点三角形面积 【椭圆焦三角形】 【分析】 设|OM|=q 【双曲线焦点三角形】 【抛物线原焦弦三角形】 同样焦点在y轴上时 三、圆锥曲线中的焦点三角形顶角问题 【椭圆】 【分析】 也可利用向量来证明x的取值范围 【双曲线】原理同椭圆,可求出x的取值范围 【启发例题】 例 点M是椭圆(ab0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________． ’M是等腰直角三角形 【解二】若等腰△PQM是直角三角形则PQ=2c A B