不等式问题(教师).docVIP

例1 已知函数，求证：当时，恒有 （构造辅助函数不等式的证明为利用导数研究函数的最值，从而证不等式，，若当时，恒成立，求实数的取值范围．（在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零） 例3．证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.本题是与自然数相关命题，很多学生习惯性思考数学归纳法的应用，但是从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数”型不等式，适合分别构建函数处理。 例4．已知函数，，若对任意，都有，求的范围．（∵对任意，都有成立，，，令得或;得． 在为增函数，在为减函数． ，．） 例5.设在处的切线与轴平行．(I)求的单调性：(II)证明：对恒成立。 解：(I) 故，于是 故当时，，当时，从而在(-∞，-2)，(1，+∞)单调减少，在(-2，1)单调增加． (II)由(I)知[0，1]单调增加，故[0，l]的最大值为,从而对任意有时，,从而。 例6.已知函数(I)讨论函数(II)设, 例7.设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有， 故，于是， 列表如下： 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． （Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．(利用单调性证明不等式）故当时，恒有． 例8.已知函数，， （1）证明：当时，恒有 （2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围; （1）设，则= ， 当时，，所以函数在（0，单调递增，又在处连续，所以即，所以。 （2）设，则在（0，恒大于0，， ， 的根为0和即在区间（0，上，的根为0和若，则在单调递减，且，与在（0， 恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以，求函数的单调区间. 解当时. （i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得. 因此，函数在区间内单调递减. 例10.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性． （3）方程有两个不相等实根 w.w.w.k.s.5.当函数当时，故上为减函数 时，故上为增函数 分离常数:例11已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.学 解：的定义域为， 的导数. 令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值. 学科网（Ⅱ）解法一：令，则， 学科网① 若，当时，，学科网故在上为增函数，所以，时，，即.学科网② 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，，即，与题设相矛盾. 综上，满足条件的的取值范围是在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 令， 则. 当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)求函数在上的最小值;(Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围. Ⅰ) Ⅰ) (Ⅱ)(ⅰ)0tt+2，t无解；(ⅱ)0tt+2，即0t时，；(ⅲ)，即时，， (Ⅲ)由题意:在上恒成立即可得）设,则令,得(舍)当时,;当时, 当时,取得最大值, =-2 例13已知函数,,设． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值 解，∵，由，∴在上单调递增。 由，∴在上单调递减。∴的单调递减区间为，单调递增区间为（II），恒成立当时，取得最大值。∴，∴ 设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为． 设函数，其中；（Ⅰ）若，求在的最小值；（Ⅱ）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，时，由，得（舍去），当时，，当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以（Ⅱ）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得；（Ⅲ）当b=-1时,函数，令函数则，所以函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立.取，则有恒成立.显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立. 的图象按向量平移得到函数的图象。 （1）若证明：。（2）若不等式对于及恒成立，求实