平面向量基本定理68170.pptVIP

* * * * * * 2.3.1 平面向量的基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 思考：给定平面内任意两个向量 、 ，如何 作出向量 、 ？平面内任一向量是否都 可以用形如 的向量表示呢？ O 平面向量的基本定理 如果 , 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 我们把不共线的向量 ， 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底。 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F F A N B a M O C N M M O C N a E 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O C F M N a E E A B N OC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE 特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： 可使 0 = + . = = 0 ？若 与 中只有一个为零，情况会是怎样？ 特别的，若a与 （ ）共线，则有 =0（ =0），使得: a = + . 判断下列命题的是否真命题，并说明理由 1、 、 是平面内的一组向量，则平面内任一向 量都可以表示为 ，其中 、 2、 、 是平面内的一组基底，若实数 、 使 ，则 3、如果 , 是同一平面内的两个不共线的向 量，那么对于这一平面内的任意向量 ，可能有无 数对实数 、 ，使 (假) (真) (假) 已知向量 求做向量-2.5 +3 例3： 、 O A B C · A B O 已知两个非零向量 ， ， 作 则 叫做向量 与 的夹角。 当 时， 与 同向； 当 时， 与 反向。 如果 与 的夹角是900，我们说 与 垂直 记作 课堂练习 （1）已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角 形，F为ED的中点， 表示向量 e1 e2 B A D C E F （2）△ABC中， 三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则 A B C M D E F 例5、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手, 在图中确定一组 基底，将其他向 量用这组基底表 示出来。 A N M C D B 解析： BC = BD + DC = MN = DN-DM =(AN-AD)- DC (AD–AB)+DC A N M C D B DC = AB = 设AB = ,AD = ,则有： = - . = - + = = - - - + 设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线，求k的值。 A、B、D三点共线 解： AB与BD共线，则存在实数 λ使得AB = λBD. λ使得AB = λBD. 思考 k = 8 . = a – 4b 由于BD = CD – CB =(2a – b) –(a +3b) 则需 2a + kb = (a – 4b ) 由向量相等的条件得 2 = k = 4 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 - = 0 k – 4 = 0 此处可另解： k = 8 . 即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0 本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。 评析 练习：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与 BD相交于点E，O是任意一点，求证：　 E D A B C O * *