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2012版高中全程学习方略配套课件:2.5《简单的幂函数》(北师大版必修1)
【解题提示】解答本题可先根据函数f(x)的奇偶性画出f(x)的草图,然后结合图像求x的取值范围. 【解析】选D.由函数的性质可画出其图像草图,如图所示. 显然f(x)<0的解集为{x|-2<x<2}. 二、填空题(每题4分,共8分) 5.如果幂函数y=(m2-3m+3)· 的图像不过原点,则m的 取值是___. 【解析】根据幂函数的定义,知m2-3m+3=1,所以m=1或m=2.又因为图像不过原点,所以m2-m-2≤0,经验证,m=1,m=2均适合. 答案:1或2 6.(2011·福州高一检测)已知f(x)为奇函数,定义域为R,当x>0时,f(x)=x2+1,则当x<0时,f(x)的解析式为___. 【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2+1=x2+1,又f(x)= -f(-x),∴f(x)=-x2-1. 答案:f(x)=-x2-1 【方法技巧】求奇函数在其对称区间上的解析式问题的诀窍 已知函数f(x)在区间[a,b]上的表达式,求函数f(x)在区间[-b,-a]上的表达式的一般方法:设-b≤x≤-a,则a≤-x≤b;根据已知条件f(x)在区间[a,b]上的表达式可求得f(-x)的 表达式;然后根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在 f(x)与f(-x)之间的相互转化(若函数f(x)为奇函数,则f(x)= -f(-x);若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)),特别值得一提的 是:设-b≤x≤-a,转化为a≤-x≤b是解决问题的关键. (3)因为函数的定义域为{x|x≠1},它不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 【互动探究】本例中(1)与(3)分别换为: (1)f(x)=x3+2x,x∈(0,1) (2)f(x)= ,x∈(-1,1),其结论又如何呢? 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(0,1),不关于原点对称,因此f(x)是非奇非偶函数. (2)∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称且f(x)=x3,故 f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 对函数奇偶性应用的认识 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图像,根据奇函数的图像关 于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,可以作出函数在y 轴另一侧的图像.作对称图像时,可以先从点的对称出发,点 (x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0);关于y轴的对称点为 (-x0,y0). 奇偶性的应用 【例3】已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x, (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)画出函数f(x)的图像. 【审题指导】根据题中条件,当x>0时的解析式已知,需求x≤0时的解析式,故需借助奇函数的性质求解,根据对称性即可画出图像. 【规范解答】(1)①由于函数f(x)为定义域为R的奇函数,则 f(0)=0;②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)= -f(x), ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)] =-x2-2x, 综上: (2)图像如图 【变式训练】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图像如图所示,则使函数值y<0的x的取值范围为____. 【解题提示】解答本题的关键是利用f(x)是奇函数,其图像具有对称性,作出在[-5,0]上的图像,然后结合图像,求出y<0的x的取值范围. 【解析】因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图像关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图像可知它在[-5,0]上的图像,如图所示.由图像知,使函数值y<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,5). 答案:(-2,0)∪(2,5) 【例】已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0. (1)证明f(x)是奇函数. (2)证明f(x)在R上是增函数. (3)若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围. 【审题指导】解答本题的关键是利用赋值法将抽象问题具体化,然后结合奇函数、增函数的定义来求解. 【规范解答】(1)令x=y=0得,f(0)=f(0)+f(0),因此f(0)=0 ……………………………………………………………… ① 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x) …………………………… ② 由①②知f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)任取x1,x2∈R且x1<x2. ∵f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数. (3)原不等式等价于f(m)>-f(m-1) f(
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