第五章多元函数微分学学案.doc

第五章 多元函数微分学 知识点拔 5.1 多元函数的概念 一、二元函数的概念 1、二元函数的定义 设在某一变化过程中，有三个变量和，如果对于变量在某一范围内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值与它对应，则称变量是变量的二元函数，记作：或，其中称为自变量，称为因变量或称为的二元函数，变量取值范围称为该函数的定义域. 2、二元函数的几何意义 二元函数在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面. 二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义 设二元函数在点的某去心邻域内有定义，如果动点在该邻域内以任何方式无限地趋于点时，函数总是无限地趋于一个常数，则称是函数在趋于时的极限（也称二重极限），记作或，若记点与点之间的距离为 ，则有 . 注释：（1）极限的几何意义：当在附近的某个范围内变化时，函数值与常数的距离恒小于任意给定的正数； （2）二元函数极限存在是指：动点必须以任意方式趋于点时，都无限趋于常数，则二元函数的二重极限存在，但即使动点沿过的无穷多条路径趋于时极限都等于，也不能说明时， . （3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点以两种不同的方式趋于点时，函数分别趋于不同的常数，则可以断定函数在点处的极限不存在。 如：，当动点沿无穷多条直线趋于点时极限都是，但时其二重极限不是，因为当沿曲线趋于点时， . 2、二重极限不存在的判定方法 当点沿两种不同的路径趋于定点时，极限存在但不相等或沿某条路径点趋于点极限不存在时，则二重极限不存在 . 3、求二元函数极限的常用方法 求二元函数极限（即二重极限）的方法有： （1）利用函数连续的定义及初等函数的连续性； （2）利用夹逼定理； （3）利用有界函数与无穷小量乘积的性质； （4）利用变量替换 . 例1 求下限极限 （1）； （2）； （3）； （4） . 解 （1）令，，则，时，，于是 ，因，所以，故原极限. （2）由于，而，所以根据夹逼定理，得，故 . （3）因，令，则 ，而为有界函数，故原极限为. （4）. 例2 证明极限. 证明 由，即沿轴趋于原点时，极限值为；而 ，即沿直线趋于原点时，极限值为1，即沿不同方向趋于原点时，极限值不同，故不存在 . 4、二重极限与二次极限 称或为二次极限. 二重极限与二次极限是两个不同的概念，它们之间无任何关系，因此不能用求二次极限来求二重极限 . 三、二元函数的连续性定义 定义 设二元函数在点的某个邻域内有定义，如果或，则称在点处连续，否则，就称函数在点处不连续或间断，称是二元函数在点处的全增量，如果在区域上的每一点都连续，则称在区域上连续 . 例3 讨论下列函数在分段点处的连续性 （1） （2） 解 （1）因为，当取不同的值时，极限值不同，所以极限不存在，故函数在处不连续 . （2）由于，而， 由夹逼定理，知 ，所以， 故在处连续 . 注释：一切多元初等函数在其定义的区域内是连续的，于是多元初等函数在其定义区域内任一点的极限值等于函数在该点的函数值. 5.2 偏导数的概念 一、偏导数的概念 1、全增量和偏增量的概念 设在点的某邻域内有定义，为该邻域内的任一点，则称或为二元函数在点处的全增量；而称为二元函数在点处对的偏增量；称为二元函数在点处对的偏增量. 2、偏导数的概念 设在点的某邻域内有定义，如果极限 存在，则称这个极限值为在点处对的偏导数，记作：，，，； 如果极限存在，则称这个极限值为在点处对的偏导数，记作：，，，. 注释 ① 由偏导数的定义知，在函数的定义域的边界上是不可能存在偏导数的. ② 二元函数在点对的偏导数与一元函数在点的导数类似，二元函数在点的对的偏导数与一元函数在点的导数相似 . ③ 函数在点的偏导数是否存在与函数在点处是否存在极限、是否连续没有任何关系. ④ 如果在区域上的每一点都有偏导数，一般说它仍是的二元函数，称为的偏导函数，简称偏导数，记为 ； ⑤偏导数的等价定义式： ，，其中表示奇函数； ⑥当，存在时，偏导数还可以表示为： ，，其中，为常数. 例4 设求，. 解 ， . 二、高阶偏导数 1、高阶偏导数的概念 若的偏导数仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为的二阶偏导数，记作：或，，，，其中称为二阶混合偏导数. 类似地可以定义三阶、四阶及以上阶偏导数. 注释：（1）求高阶偏导数只需要逐次求偏导数即可，但是在求高阶混合偏导数时应注意求导次序，只有在高阶偏导数连续时，混合偏导数才与求导次序无关. （2）若求函数在具体点处的偏导数，可不必求出该函数的偏导函数，然后代入点，而先代入或，然后变为求一元函数的导数，此法一般来说更简单一些 . 2、二阶混合偏导数相等的充分条件 定理 如果二元函数的两个二阶混合偏导数，都在点处连续，则有. 注释：定理中的条件只为充分条件.