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一、积分上限函数及其导数 二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 小结 * * §7.3 定积分计算基本公式 一、积分上限函数及其导数 二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 一个函数的不定积分是他的原函数的全体，如 而一个函数在一个区间上的定积分则是曲边梯形的面积，是 一个数值，如 引论：不定积分与定积分的联系 若已知 则 Largrange中值定理： 当 时，或者说当每一个 时， 上面的 化为 于是我们就得到了 这就是著名的牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 即 Isaac Newton ，1671年写了 《流数法和无穷级数》，与 Gottfriend Wilhelm Leibniz 同时独立创建微积分 考察定积分 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 例1 . 例2 . 例3 . 变限积分求导公式 解：令 则 例4 . 证 一般地 例5 . 例6. 设 在区间 上连续，且 则 在 上恒等于零。 证明：令 则 因此 在 上是单调非减的，从而有 于是 在 上恒为常数，其导数必为零，即 定理 3（微积分基本公式） 证 令 令 核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数， 则可以轻易地求出定积分的值，即原函数在积分 区间上的增量。 注意 例7. 例8. 例9 . 例10 计算 其中 解 例11.设 , 求 在[0,2]上的表达式, 并讨论 在(0,2)内的连续性. 解. 当 时, 当 时, 综上, 在x=1处, 在(0,2)内连续. 所以, 2 x 0 1