分式不等式的解法讲义.docVIP

不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 (1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解法(如下表所示) 设a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2 (3)对于一元二次不等式的解法需注意： ①≥0(a＜b)的解集为：{x|x≤a或x＞b}；≤0(a＜b)的解集为：{x|a≤x＜b}． ②从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合． ③三个“二次”的关系 常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系． 2．解一元二次不等式的方法： (1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集． (2)公式法步骤： ①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0； ②计算对应方程的判别式Δ； ③求对应方程的根； ④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集． 1）解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如： (1)若a＞0，则│x│＜a?－a＜x＜a?x2＜a2； (2)若a＞0，则│x│＞a?x＜－a，或x＞a?x2＞a2； (3) |f(x)|g(x)?－g(x)f(x)g(x)； (4)|f(x)|g(x)?f(x)g(x)或f(x)－g(x)(无论g(x)是否为正)． 常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方． 2）常见绝对值不等式及解法： (1)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a； (3)|x－a1|＋|x－a2|＞(＜)b，用零点分区间法． 4．一般分式不等式的解法： (1)整理成标准型＞0(或＜0)或≥0(或≤0)． (2)化成整式不等式来解： ①＞0f(x)·g(x)＞0 ②＜0f(x)·g(x)＜0 ③≥0 ④≤0? (3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集． 考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式 [例的解集是( ) 　 A． 　　 　B. 　　 　C. 　 　D. 【解题思路】严格按解题步骤进行 [解析]由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D. 【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数. [例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数 [解析] 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,∴即,其解集为. 【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数 【新题导练】 1.不等式（2）2+2(－2) -4＜0,对一切R恒成立，则a的取值范围是（??? ）A.（-∞,2]??????????? B.（-2,2]?????????????? C.（-2,2）????????????? D.（-∞,2) 解析：可推知-2＜a＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，-2＜a≤2. 关于的不等式(-1)( -2)＞0，若此不等式的解集为{|＜x＜2}，则的取值范围是A. ＞0 ?????????????B.0＜＜2????????????? C.＞????????????? D.＜0 解析：由不等式的解集形式知m＜0. 答案：D 2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式 例1：解关于的一元二次不等式 【解题思路】比较根的大小确定解集 解析：∵，∴ ⑴当，不等式解集为； ⑵当时，不等式为，解集为； ⑶当，不等式解集为 【名师指引】解含参数不等式分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论().③根据根的大小讨论(). 例2. 解不等式loga(1－)＞1 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论 解析(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组 由此得1－a＞.因为1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0. (2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：