第3讲解析几何之中点弦题型.docVIP

第三讲.解析几何之中点弦题型 【教学目标】 掌握两点的中点坐标公式； ∴.解得. 又时，，从而直线方程为. （2）证明：按同样方法求得，而当时，，所以这样的直线不存在. 【点评】：注意检验的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。 例4.若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围 【解析】：设对称的两点分别为，中点， 考虑到直线应与垂直，设直线， 联立方程得，，所以，， 点也在上，所以，即 代入直线，得 所以方程化简为 考虑到，解得 例5.已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围； 【解析】：设，中点， 依题意被直线垂直平分，所以， 设，代入椭圆，整理得 则，， 由于也在上，所以， 考虑到有两个交点，解得 所以 【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出，但不是真的求出，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得是解决本题的关键. 例6.椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程． 【解析】：（1）由题设，得， 由椭圆定义， 所以，． 设，，，：，代入椭圆的方程，整理得 ， （*） 则 ， 于是有， 化简，得，故，． （2）由（1）有，方程（*）可化为 设中点为，则， 又，于是． 由知为的中垂线，， 由，得，解得，， 故，椭圆的方程为． 例7.已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点，且。 (1)求的取值范围 (2)若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值 【解析】：(1)设直线的方程为：， 代入抛物线方程得，即 ，即 又，。 (2)设，的中点, 由(1)知，，， 则有 ∴线段AB的垂直平分线的方程为, 从而N点坐标为 点N到AB的距离为 从而 当有最大值时，有最大值为。 【双基训练】 1.若直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是_________ 2.设直线交椭圆于两点，且的中点为，求直线的方程。 3.已知双曲线与点，问能否过点作直线与双曲线交于两点，使得为中点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由。 4.已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围； 【纵向应用】 5.已知直线与双曲线交于、点。 （1）求的取值范围； （2）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在， 请求出的值；若不存在，说明理由。 【横向拓展】 6.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； 写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？ 如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明： 【练习题答案】 1. 2. 3.能， 4. 5.【解析】：（1）由消去，得 依题意即且 （2）如果存在的话，必须满足被垂直平分，所以 代入（1）中方程得 设，的中点， 则，，即 但不在上，所以不存在这样的。 6.【解析】：（1）椭圆与相似。 因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为 （2）椭圆的方程为：- 设，点，中点为， 则，所以 则 因为中点在直线上，所以有， 即直线的方程为：， 由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以，即 （3）证明： ①直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以； ②直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，， 线段AB的中点， 线段AB的中点为 同理可得线段CD的中点为， 即线段AB与CD的中点重合，所以 1 中国领先的高端教育连锁集团