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2015上海新知杯预选赛试题 2015.10 填空题（每题5分） 在三角形ABC中，是大于1的整数，则 。 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。 如图，直角三角形中，，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为 。 设是方程的两个根，是方程的两个根，则 的值为 。 在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是 。 如图，四边形中,,。设延长线交于，则_________________. 如图，在直角梯形中，,,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是________________。 二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得 并且求的长。 三、 （本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。 试找出一对无理数，使得是和谐的； 证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数； 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。 四. （本题15分）①求证：存在整数x，y，满足。 ②是否存在整数x，y，满足，请证明你的结论。 　五、（本题15分）如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求 　　（1）∠MAN的大小； 　　（2）△MAN面积的最小值。 新知杯模拟试题（参考答案） 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分） 对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_________。 【答案】4或 【解析】，，，，所以或 在三角形ABC中，是大于1的整数，则 。 【答案】0 【解析1】若，即矛盾 若，则，即矛盾， 【解析2】是大于1的整数，所以，此时，，即， ，即，，即 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50，94 【解析】设两边长分别为和，则，，所以周长为或 已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 【解析】原方程可化为，，，，即 如图，直角三角形中，，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为 。 【答案】 【解析】设，，则，所以，，，当，时，最小。 设是方程的两个根，是方程的两个根，则 的值为 。 【答案】2772 【解析】，，，， 在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是 。 【答案】 【解析】， 方程的所有整数解有 组。 【答案】72 【解析】 正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组 如图，四边形中,,。设延长线交于，则_________________. 【答案】21 【解析】作∥，∥，易知，四边形为平行四边形，，，是等边三角形，即为等腰三角形，, 如图，在直角梯形中，,,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是________________。 【答案】 【解析】将图补成正方形，易知≌，令，则，由勾股定理得，解得， 二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得 并且求的长。 【答案】。 【解析】设，则作的平分线交于点，BE，则∽,所以，由角平分线定理可知，因此解得 三. 【解析】(1)不难验证是和谐的。 (2)由已知是有理数，是有理数，所以，解得是有理数，所以也是有理数。 (3)若，则是有理数，因此也是有理数。若，由已知是有理数，也是有理数，因此，故是有理数，因此也是有理数。