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数学手册第2章初等几何图形的计算与作图3
§3 实用几何作图
正多边形作图
[已知边长作正三角形] 已知AB等于边长.分别以A,B为圆心,AB为半径画弧交于C,连接AC,BC,即为所求正三角形(图2.3).
[已知边长作正方形] 已知AB等于边长.以AB外任一点O为圆心,OA为半径画圆交AB于E.连接EO并延长交圆于F,连接AF并延长截取AD=AB.分别以B,D为圆心,AB为半径画弧交于C,连接BC,DC,□ABCD即为所求正方形(图2.4).
[已知外接圆作正五边形] 过圆心O作互相垂直的直径AB,CD,平分OB于E,以E为圆心,EC为半径画弧交OA于F,以CF为半径在圆周上顺次截段并连接各点,即为所求正五边形(图2.5).也可参考正十边形作法(见图2.11中的虚线).
[已知边长作正五边形] 已知AB等于边长.以A,B为圆心,AB为半径画两圆交于C,D,连接CD.以D为圆心,AB为半径画圆,交CD于E,交A圆于F,交B圆于G,连接FE,GE,并延长交B,A圆于H,I.分别以H,I为圆心,AB为半径画弧交于J,连接JI,IA,BH,HJ,连同AB即为所求正五边形(图2.6).
[已知外接圆作正六边形] 以外接圆半径在其圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正六边形(图2.7).
[已知边长作正六边形] 已知AB等于边长,分别以A,B为圆心,AB为半径画弧交于O,以O为圆心,AB为半径画圆.再按上法可作出所求正六边形(图2.8).
[已知外接圆作正七边形(近似作法)] 以圆周上任一点A为圆心,以同圆半径为半径画弧交圆周于B,C,连接BC,AO,交于D.以BD为半径(作图时应略大于BD)在圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正七边形(图2.9).
[已知外接圆作正八边形] 过圆心O作互相垂直的直径AB,CD.分别以A,B,D为圆心,任意长为半径画弧交于E,F,连接EO,FO,并延长交圆于G,H,I,J,顺次连接八点,即为所求正八边形(图2.10).
[已知外接圆作正十边形] 过圆心O作互相垂直的直径AB,CD,以OB为直径画圆E,连接EC交E圆于F.以CF为半径在圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正十边形(图2.11).
[已知外接圆作任意正多边形(近似作法)] 将直径AB n等分(n为边数),以A,B为圆心,AB为半径画弧交于C,连接C与第二个分点E,并延长交圆于D,以AD为半径在圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正n边形(图2.12中为正九边形).
椭圆作图
已知长短轴(2a,2b)作椭圆,其方法如下:
[轨迹法] 作长轴AB=2a,短轴CD=2b,相互垂直平分交于O,以D为圆心,a为半径画弧交AB于.在两点钉上钉子,把一长度为2a的线的两端固定在钉子上,再用铅笔拉紧线,移动铅笔所画出的曲线即为椭圆(图2.13).
[焦点法] 同轨迹法一样,先画出点,将AB8等分,中间各点为.分别以为圆心,为半径画弧,以为圆心,为半径画弧,两两相交于和.再将这些交点连同A,B一起用光滑曲线顺次连接,即近似于所求椭圆(图2.14).
[压缩法] 用长短轴为直径画出两个同心圆,并将圆周12等分(小圆分点1~12,大圆分点对应为).连接和1-11,2-10,4-8,5-7,并延长,将与1-11,5-7;与2-10,4-8;与1-11,5-7;与2-10,4-8的交点(共8个),连同四个顶点一起,用光滑曲线顺次连接,即近似于所求椭圆(图2.15).
[圆弧法] 作长轴AB=2a,短轴CD=2b,相互垂直平分交于O,作OE=OA,以C为圆心,CE为半径画弧交AC于F,作AF的垂直平分线交AB于G,交CD延长线于I.作OH=OG,OJ=OI.分别以I,J为圆心,IC为半径画弧,又分别以G,H为圆心,GA为半径画弧,则四段弧相连即近似于所求椭圆(图2.16).
圆弧放样法
在土木建筑工程中,由于受各种施工条件的限制,不能用圆规一转就画出圆弧,可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样,又便于工人同志掌握.
[已知弦长和拱高作圆弧]
方法
作AB等于弦长,作CO垂直平分AB,并使CO等于拱高,连接BC,作BC的中垂线DE.作的平分线交DE于E,在ED延长线上取DF=DE,则F为的分点.由对称性,F的对称点也是的分点.重复上述步骤,可得的各分点,将各分点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧(图2.17).此方法概念明确,步骤较少,占地最少.
方法
作AB等于弦长,作CO垂直平分AB,并使CO等于拱高.作BC的中垂线DF,截OE=CD.过E作AB的垂线交DF于F,则F为的分点.由对称性,F的对称点也是的分点.重复上述步骤,可得的各分点,将各分点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧(图2.18).此方法步骤最少.
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