计算方法第3章方程的近似解法实验报告张琳.docVIP

《数值分析》实验报告 题目名称: 方程的近似解法 学 号: 姓 名: 张琳 _____ 任课教师:__于延_________ 第三章 方程的近似解法 实验目的： 编写用迭代法、牛顿法、对分区间法、弦线法解非线性方程的程序； 2、实验分析： 计算方法分析： §3.1 二分法 二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。 问题：设函数?(x)在[a, b]上连续，且?(a) ?(b)0，则?(x)=0在[a, b]内至少有一零点，[a, b]称有根区间，若?(x)=0在[a, b]内有唯一根x*，求满足精度?要求的近似根。 二分法的基本思想：计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤有哪些信誉好的足球投注网站零点的位置。 二分法的计算过程如下： （1）把[a,b]二等分，分点x0=(a+b)/2, 若?(x0)=0, 则实根x*=x0，计算结束，否则 若?(x0) ?(a)0, 则x*?(a,x0), 取a1=a,b1=x0, 否则x*?(x0,b), 取a1=x0,b1=b,得有根区[a1,b1], 其长度是原[a,b]的一半。 （2） 重复上述步骤，把[a1,b1]二等分，分点x1=(a1+b1)/2, 若?(x1)?0, 又的得有根区[a2,b2], 其长度是[a1,b1]的一半。 （3）如此反复下去，若?(xk)?0, 则可的一列有根区间： [a,b]?[a1,b1] ? [a1,b1] ?…? [ak,bk] ?… 其中[ak,bk]的长度是[ak-1,bk-1]的一半, lin(bk-ak)=0, limxk=x* 实际计算时，可按精度?要求结束二分法过程： (1) 当?bk+1-ak+1??时，有?x*-xk??,计算结束 (2) 要?x*-xk??, 只需 即 k+1 所以 作k+1次二分法，计算结束。 实现代码： #include stdio.h #include math.h #include iostream using namespace std; double f(double x) { return pow(x,3)-1.8*pow(x,2)+0.15*x+0.65; } void average(int n,double a,double b) { double x=(a+b)/2; printf(\n%4d: [%8.6f,%8.6f] %8.6f %c %8.6f,n,a,b,x,f(x)0?+:-,b-a); } int main() { double a,b,x; int n=0; a=0.5; b=1.25; printf(\n N [a,b] x f(x) |b-a|); average(n++,a,b); while(fabs(b-a)1e-2) { x=(a+b)/2.0; if(f(x)*f(a)0) a=x; if(f(x)*f(b)0) b=x; average(n++,a,b); } coutendl方程的近似值为x*=(a+b)/2; system(pause); return 0; } §3.2 迭代法（逐次逼近法） 问题：若?(x)=0在[a, b]内有一根x*，求?(x)=0满足精度? 要求的近似根。 迭代法思想方法： 将?(x)=0转换成等价形式：x=g(x), (g(x)称迭代函数) 给定初值x0，构造迭代序列: xx+1=g(xx) , k=0.1.2. … limx k+1=limg(xk)=a时迭代法收敛(否则发散), 则a就是方程?(x)=0的根。k?? k?? 在计算中, 当?xk+1-xk?? 时取a=xk+1为方程的根。 迭代法的实现过程如下： （1）选取初值x0，并确定方程f(x)=0的等价形式x=φ(x)； （2）计算x1=φ(x0)； （3）如果|x1-x0|ε则停止计算；否则用x1代替x0，重复步骤（2）和（3）的过程； 几何意义 (1) 将求?(x)=0的根转换成求：y=x, y=g(x) 的交点P*(x, g(x)) (2) 构造点列：{Pk (xk,g(xk))} 逼近交点P*(x, g(x)) 例 用迭代法求 的解 实现代码： #includemath.h #includeiostream using namespace std; #define E 2.71828 float fun(float x) { return (1.0/2)*log(4-x); } int main() { float x0