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第 22 卷第 5 期 大 学 数 学 V ol. 22, . 5 2006 年 10 月 COLLEGE M AT H EM AT ICS Oct. 2006 若当标准形的计算 李尚志 ( 北京航空航天大学 理学院, 北 京 100083) 1 问题的提出 è 在线性代数与矩阵论中, 一个重要问题是如何将复数域C 上的任意 n 阶方阵 A 相似到尽可能简单 的方阵 J . 也就是说: 寻找适当的可逆方阵 P, 使 P- 1 AP= J. 在复数域上求出 A 的特征多项式 A ( ) = det( I - A) 的全部不同的根 1 , , t , 也就是 A 的特征 值. 对每个特征值 i , 解齐次线性方程组( A- iI ) X= 0, 可求得一个基础解系 Li . 所有这些 Li 的并集 L = L1 ! ! Lt 线性无关, 是由最多的特征向量组成的线性无关集合. 如果 L 包含 n 个向量, 它就是复数 è 域C 上 n 维列向量空间C n? 1 一组基. 以 L 中的向量为各列排成的矩阵 P 是 n 阶可逆方阵, 它将 A 相似 到对角阵 P - 1 AP. 但是, 也可能按以上步骤求得的 L 所含向量个数少于 n, 此时 A 不能相似于对角阵. 但可以对 L 再 è 补充适当的向量组成C n ? 1 的一组基 M, 以这组基的各向量为各列排成可逆矩阵 P, 它将 A 相似到如下 形式的准对角阵 i 1 J1 - 1 P AP= J= , 其中每个块具有形式 Ji = 1 Js i 这样的块 Ji 称为若当块, 这样的矩阵 J 称为 A 的若当标准形, P 称为过渡矩阵. 很自然提出的问题是: 怎样由 A 计算它的若当标准形 J , 并计算过渡矩阵 P? 很多教科书都叙述了利用 矩阵 I - A 的相抵标准形来计算 A 的若当标准形 J 的方法. 至于求过 渡矩阵 P, 大多数高等代数、线性代数教材中都认为太难而不能加以讨论, 一些矩阵论的教材也只是给 出少量特殊例子而没有给出一般的算法. 有少数教材( 例如[ 2] ) 给出了利用 矩阵的相抵来求过渡矩阵 P 的算法: 求可逆 矩阵 P( ) , Q( ) 使 P( ) ( I - A) Q( ) = I - J, 并求出 - 1 m m- 1 R( ) = Q(