6-求解方法和稳定性探析.ppt

非线性有限元求解方法和稳定性 庄茁 柳占立 liuzhanli@tsinghua.edu.cn ;求解方法和稳定性 ;问题： ;1 引言 ;双曲线型偏微分方程，典型问题是波的传播;2 显式方法;2 显式方法;高速动力学（high-speed dynamic）事件 最初发展显式动力学方法是为了分析那些用隐式方法分析起来可能极端费时的高速动力学事件。例如，分析一块钢板在瞬时爆炸载荷下的响应。在迅速施加的巨大载荷作用下，结构的响应变化得非常快。对于捕获动力响应，精确地跟踪板内的应力波是非常重要的，由于应力波与系统的最高阶频率相关联，因此为了得到精确的解答需要许多小的时间增量。 复杂的接触（contact）问题 应用显式方法建立接触条件的公式要比应用隐式方法容易得多，因此能够比较容易地分析包括许多独立物体相互作用的复杂接触问题，特别适合于分析受冲击载荷并随后在结构内部发生复杂相互接触作用的结构的瞬间动态响应问题。;复杂的后屈曲（postbuckling）问题 不稳定的后屈曲问题。随着载荷的施加，结构的刚度会发生剧烈的变化。在后屈曲响应中常常包括接触相互作用的影响。 高度非线性的准静态（quasi-static）问题 能够有效地解决某些在本质上是静态的问题。准静态过程模拟包括复杂接触的问题；如锻造、滚压和薄板成型等过程一般都属于这类问题。 材料退化（degradation）和失效（failure） 在隐式程序中，材料的退化和失效常常导致严重的收敛困难，但是显式方法能够很好地模拟这类材料。混凝土开裂的模型是一个材料退化的例子，其拉伸裂缝导致了材料的刚度成为负值。金属的延性失效模型是一个材料失效的例子，其材料刚度能够退化并且一直降低到零，在这段时间中，单元从模型中被完全除掉。 这些类型分析的问题都有可能包含温度和热传导的影响。;2 显式方法;2 显式方法;2 显式方法;2 显式方法; 内部和外部节点力是节点位移和时间的函数。外部载荷通常描述成为时间的函数，也可能取决于结构的构形，是节点位移的函数，比如当压力施加在大变形的表面上。 内部节点力对位移的依赖性是显而易见的：内部节点力取决于应力，而应力通过本???方程依赖于应变和应变率，而它们依次取决于位移和它们的导数。 内部节点力也可以直接取决于时间，例如：当温度设定为时间的函数时，则应力和相应的节点力也直接是时间的函数。;2 显式方法;编程 ;编程 ;子程序—给出作用力;2 显式方法;2 显式方法; 这种简单的稳定极限定义提供了某些直觉上的理解。稳定极限是当膨胀波通过由单元特征长度定义的距离时所需要的时间。如果已知单元最小尺寸和材料波速，就能够估算稳定极限。例如，最小单元尺寸是5 mm，膨胀波速是5000 m/s，稳定的时间增量就在1×10-6 s的量级上。;Start time loop;2 显式方法; 下图给出了具有不同应力-应变曲线的平行联结的三根杆件，两根B杆对称布置于A杆两侧，加载时保持相同的应变。当应变达到杆B的屈服点时（应变轴上的a点），杆件A已经经历了一定量的塑性应变。 ;材料对稳定时间增量的影响 ;2 显式方法;2 显式方法;2 显式方法; 精确性 ;2 显式方法;质量缩放、子循环和动态松弛 ;例题：在棒中的应力波传播; 在三条曲线的每一条中，应力波沿棒长度的影响都近似为0.2 m。这个距离对应于爆炸波在作用时间内传播的距离，如果波前的长度为0.2 m、波速为5.15×103 m/s，那么波传播0.2 m所用的时间为3.88×10-5 m/s。这就是所施加爆炸载荷的作用时间。应力波沿棒传播时并不是严格的方波。特别是在应力突然改变之后有反弹或者摆动。;小结 应用中心差分方法对时间进行动力学显式积分，需要许多小的时间增量。因为不必同时求解联立方程，每个增量计算成本很低。随着模型尺寸的增加，显式方法比隐式方法能够节省大量的计算成本。 稳定极限是能够用来前推动力学状态并仍保持精度的最大时间增量。随着材料刚度增加，稳定极限降低；随着材料密度的增加，稳定极限提高。对于单一材料的网格，稳定极限大致与最小单元的尺寸成比例。;3 平衡解答和隐式时间积分;3 平衡解答和隐式时间积分;Newmark ?方法 ;Newmark ?方法 ;3 平衡解答和隐式时间积分;Newton-Raphson方法 ;线性模型是非线性残差函数的正切；获得模型的过程称为线性化 。; 对于n个未知量的Newton方法，通过替换上述标量方程为矩阵方程，将Newton方法生成到ndof个未知量的情况，公式对应部分为：;Newton-Raphson方法 ;Jacobian矩阵;切线刚度矩阵分解为材料刚度和几何刚度阵 ;材料刚度 ;3 平衡