概率论与数理统计第十一讲.pptVIP

概率论与数理统计 第十一讲; ;4.1.1 离散型随机变量的数学期望 ;若统计了100天小张生产产品的情况，发现： ;可以想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27。;这是以频率为 权的加权平均; 定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。;例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，求E(X)。;{X=2} 表示 {1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球}，类似地得到：; 1.两点分布：X ～ B(1, p), 0 p 1，则 E(X)= 1?p + 0?(1-p) = p . ;例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4 次,每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大于 1, 就调整设备。 若各件产品是否为次品相互独立, 求一天中调整设备次数的期望。;3. 泊松分布: ，其中? 0 ，则 E(X)= ? .;4.1.2 连续型随机变量的数学期望; 该离散型随机变量的数学期望是;从该启示出发，我们给出如下定义。;例3：设随机变量X 的概率密度为; ; 这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为1.68。;例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时, 计算 P{1000X≤1200}。;I. 问题的提出：; 一种方法是：由于g(X) 也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来。; 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则;解：;例 6：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位: 吨)。X服从区间[2000, 4000] 上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出, 则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大?;由已知条件, 知X的概率密度函为;达到最大值 8.25×103。 因此，应组织3500吨货源。;设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为 pij, i=1, 2, ?? ， j=1, 2, ? . 则：;例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望.;例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为;所以，;4.1.4 期望的性质;期望性质的应用; ;例10：将 n个球放入M个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望。;因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。;习题：某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数;解：设Y表示售出一台机器的获利。则Y是X的函数，即;小结