一、挖掘等量关系的法宝-方程思想.docVIP

PAGE  PAGE 7 初中数学思想方法的学习与应用 摘　要:数学思想方法是数学的精髓，在教学与分析数学问题过程中渗透归纳数学思想方法，能培养学生解决数学问题的能力。 ?关键词：数学思想方法 方程思想 函数思想 数形结合思想 分类讨论思想 化归思想 数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略，是学习数学的指导思想．学生能运用各种数学思想去分析问题，解决问题，往往会达到事半功倍的效果．本文结合自己的教学实践，谈谈在平时教学中常见的初中数学思想方法在解决数学问题中的应用． 一、连接数量关系的方程思想 方程思想是从问题的数量关系分析入手，将问题中的条件转化为方程模型（方程或方程组），然后通过解方程（组），使问题获得解决的一种方法. 运用方程思想解决问题的基本思路是：对问题涉及的各种因素进行分析研究，发现或构造因素之间的一些等量关系→选择一个或几个待定未知数，用字母表示→用数学式子将等量关系表示出来，列出关于未知数的方程（组）→解方程（组），得出未知数的值或对方程（组）的性质进行讨论，给出待解决问题的答案. 例1 某商场家用电器专柜的某种电冰箱，每台买进价为2500元，当销售价定为3500元时，平均每天能售出8台；且冰箱的销售单价每降低100元，平均每天就能多售出2台，那么为了销售电冰箱，使利润增加12.5%. 如果从经营者的角度考虑，则每台优惠价应定为多少元较为合适？ 分析 本题的关键通过进价、销售价、销售量、利润四者的关系：（销售价-进价）×销售量=利润，构建一个方程. 解 设每台电冰箱的销售单价降元，根据题意得： 每天销售的电冰箱数：台 销售这些电冰箱每天获利：. （元） 另一方面，要使利润增加12.5%，必须每天获利： （3500-2500）×8×（1+12.5%）=9000（元）. 于是，可列出方程： 即 解得 =5，=1. 由此可见，优惠价有两个方案：每台3000元或每台3400元. 方案一 如果每台3000元，则平均每天可售出（台） 方案二 如果每台3400元，则平均每天可售出（台） 两个方案一比较，站在经营者的角度考虑会选择第二种方案，因为降低幅度小，而且销售10台比销售18台更容易些，相应地承担的风险要小些. 点评 运用方程思想解题的核心是提示题目中隐含的等量关系，通过设未知数的方式沟通已知量与未知量的联系. 二、连接变量关系的函数思想 函数是对某一变化过程中相互关联的量之间的制约关系. 函数思想方法贯穿于中学数学的各个领域. 运用函数思想解题，就是从研究变量的变化趋势的角度入手打开思路，这一思想方法的应用主要体现在函数与方程、不等式、几何及具体的现实问题等知识的有机结合上. 它主要借助于函数思想沟通知识间的联系；构造（或建立）函数解决问题；利用函数的概念、性质、图象，把方程、不等式等问题转化成函数问题加以解决. 例2 供销公司销售某种新产品，该产品上市60天内全部售完. 公司对产品的市场销售情况进行跟踪调查，调查结果如图1和图2所示，其中图1表示日销售量m（件）与上市时间t（天）的关系，图2表示每件产品的销售利润W（元）与上市时间t（天）的关系（t为正整数）. （1）根据图2直接写出上市第20天每件产品的利润是 元； （2）根据图1直接写出OA、OB所在直线的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）请仔细观察图1和图2，求出供销公司一天内销售该产品总利润y（元）与上市时间t（天）的函数关系式，并求日利润的最大值？ 分析 由于题目的文字量较大，相关条件在图象上给出，因此必须认真读题，弄清图象上各变量所代表的意义以及两个图象之间的联系. 解 （1）50； （2）OA所在直线的函数关系式m=2t（0＜t≤30）；AB所在直线的函数关系式m=-2t+130（30＜t≤60）. （3）当0＜t≤20时，每件产品的利润W=2.5t，总利润y=2.5t×2t=5t2，此时函数的最大值是2000元； 当20＜t≤30时，每件产品的利润W=50，总利润y=50×2t=100t，此时函数的最大值是3000元. ∴ y= 5t2（0＜t≤20） 100t（20＜t≤30） -100t+6000（30＜t≤60） 当30＜t≤60时，每件产品的利润W=50，总利润y=50×（-2t+120）=-100t+6000，此时函数无最大值. 最大值为3000元. 点评 应用函数思想解题时，不仅要熟悉各类函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的解析式、图象特征、性质，还需要有较为扎实的数学基本功和较强的数学思维能力. 三、数量与图形结合的数形结合思想 数形结合，一是对含