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追求几何理论统一性的数学家——克莱因 追求几何理论统一性的数学家——克莱因 克莱因（Christian Felix Klein，1849～1925），德国数学家。生于莱茵河畔的杜塞尔多夫。1857年进入天主教文科中学，1865年进入波恩大学，1868年获数学博士学位。1872年任爱尔兰根大学教授。1875年至1886年先后任慕尼黑工业大学和莱比锡大学教授。1886年起任格丁根大学教授，直至1913年退休。1925年在格丁根逝世。 克莱因在非欧几何、连续群论、代数方程论、自守函数论等方面，都取得了杰出的成就。1885年被选为英国皇家学会会员，1897年被选为法国科学院院士，1913年被选为普鲁士科学院通讯院士。 主要论著有：《论所谓非欧几何学》（1871）、《新近几何学研究的比较考察》（1872）、《二十面体及五次方程解讲义》（1884）、《椭圆模函数论讲义》（1890、1892）、《自守函数论讲义》（1897、1912）、《高观点看初等数学》（1908、1909）等。 用射影几何学来统一几种度量几何学 19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。1822年法国数学家彭色列用传统的综合方法建立了射影几何学的理论体系，德国数学家梅比乌斯和普吕克又以代数为工具建立了射影几何学的理论体系。射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。不久，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家博耶建立了非欧几何学。非欧几何学的诞生说明欧几里得几何学不再是现实空间的唯一刻画，除此之外还存在着刻画现实空间的其他几何学。与此同时德国数学家高斯和黎曼又建立了微分几何学。这些新几何学的诞生不仅打破了古典欧几里得几何学的垄断地位，而且也从“现实的”三维空间以及其中的点、线、面作了两方面的扩张：一是高维几何学的出现，人们开始研究四维及四维以上的空间（亦称之为“流形”）；二是空间元素不再局限为点，而可以是线、圆、曲面等。 1865年当克莱因步入波恩大学攻读数学时，上述新几何学已经诞生。进大学后的第二年，克莱因有幸成为著名几何学???普吕克的助手。普吕克使他对数学产生了兴趣。当时普吕克正在撰写《新空间几何学》一书，克莱因积极协助他进行这项工作，并在此工作中逐步充实自己有关射影几何学的知识。在普吕克的指导下，克莱因还完成了“线坐标的一般二次方程到典则形式的变换”的博士论文。1868年5月普吕克去世，其《新空间几何学》只完成了第1卷。第2卷只好由格丁根大学数学家克莱布什整理。1869年初克莱因离开波恩来到格丁根大学，协助克莱布什整理普吕克的遗著。在格丁根克莱因从克莱布什那里学到了代数“不变式论”，并完成了他的一篇重要论文，发现了一阶和二阶线性复形与库默尔曲面有关。由于当时德国的数学中心在柏林，于是克莱因于1869年8月底到达柏林。在这里他结识了从挪威来的代数学家李，两人成为终生密友。他还结识了从奥地利来的数学家施托尔茨，从他那里知道了非欧几何学。 还在波恩大学学习期间，克莱因就在普吕克的指导下读过英国数学家凯莱的著作。凯莱从代数的观点研究几何。他对代数形式（齐次多项式型）的几何解释特别有兴趣。于是他用代数形式给出了一种关于几何图形度量性质的新意义，即对于二维情形可以用一个二次曲线代替虚圆点。在三维时他则引入二次曲面，并将这些图形称为“绝对形”。由于绝对形具有齐次多项式的代数形式，故它具有“射影关系”的意义。然后他证明了可以用包含绝对形的代数表达式来定义欧几里得几何学中关于距离与角度的公式。于是他指出，任一欧氏几何度量性质的解析表达式包含着该性质与绝对形的关系式，度量性质不是图形本身的性质，而是图形相关于绝对形的性质。由于凯莱的绝对形具有“射影关系”的意义，于是他认为一般的射影关系决定几何图形的度量性质。也就是说，射影关系更为基本，欧几里得度量几何只不过是射影几何的一部分，是其特例。 克莱因采纳了凯莱的思想，并将它推广到非欧几何学，沟通了非欧几何与射影几何的联系，使得在射影几何的框架内也能研究非欧几何。他把凯莱的绝对形二次曲面的性质具体化，当充当绝对形二次曲面是实椭球面，或实椭圆抛物面，或实双叶双曲面时，便得到罗巴切夫斯基非欧几何；而当绝对形二次曲面是虚的时，便得到狭义黎曼非欧几何（正的常曲率）；如果绝对形是球面虚圆，其齐次坐标方程为x2＋y2＋z2＝0，t＝0，便得到通常的欧几里得几何。于是欧几里得几何、罗巴切夫斯基非欧几何和狭义黎曼非欧几何等几种度量几何都被统一于射影几何而成为其特例。在此背景下克莱因还把上述几何学予以重新命名。他把罗巴切夫斯基几何叫做双曲几何，正的常曲率曲面上的黎曼几何叫做椭圆几何，而把欧几里得几何称为抛物几何