量子力学期末复习卷 3 .docVIP

PAGE  PAGE 5 量子力学测试题（3） 1、一维自由粒子的状态由波函数描述，求粒子的动量平均值和动能平均值。 解： 动量的可能值为 ，括号内四项系数平方和等于8，所以相应几率为 4/8，1/8，1/8，1/8，1/8； 动能平均值 2、粒子作一维运动，，定态波函数为，即。 （1）证明：，并求系数； （2）由此推导求和公式：； （3）证明：。 解：（1） 所以 （2）因为 所以 （3）略 见量子辅导典型例题 3、限于，求的共同本征函数，表示成球谐函数的线性迭加。 解：方法一 时，的本征值为0及，由的轮换对称性可知（及）的本征值也为0及，相应的的共同本征函数记为，它们可以利用的共同本征函数的具体函数形式通过的轮换求出。 当时，则，不变。 已知时，的本征函数 经过的轮换 适当选择因子后得 方法二 在表象中 其本征函数为 利用 由本征方程得 表示成球谐函数的线性迭加 4、设在表象中，与微扰的矩阵表示为 其中与分别是基态与激发态的零级近似能量，是微小量。 （1）求基态的一级近似能量与零级近似波函数； （2）求激发态的二级近似能量与一级近似波函数。 解: （1）基态能量是二度简并的，相应态矢为 令零级近似波函数为 展开系数满足 由 得 基态的一级近似能量与零级近似波函数为 （2）激发态能量是非简并的，二级近似能量与一级近似波函数 5、一束速度为v自旋在轴方向极化（）的中性粒子，沿轴方向通过宽 为的均匀磁场区，磁场的方向为轴正方向。已知粒子具有自旋磁矩，为常 数。 （1）求粒子通过磁场区后其中与的粒子数目之比； （2）如果希望通过磁场后全部都是的粒子，磁场强度应取什么值？ 解：令粒子在t=0时进入磁场，在磁场区域内粒子的哈密顿量为 由定态薛定谔方程得能量及相应本征函数为 ； 已知 任意t时刻的波函数 （1）粒子通过磁场区后，将保持时的自旋态，即 这时，粒子处于自旋向下与自旋向上态的几率之比（即通过磁场区后自旋向下与自旋向上的粒子数目之比）为 （2）为了使通过磁场后全部粒子自旋均向下，须满足以下条件 即