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￠
2003 年第 5 期 52
第 43 届 IMO 预选题解答(上)
李 建 泉 译
1 u v uv
数 论 部 分 (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) .
3
1. 求最小正整数 n ,使得 p
当 时 1 至少有 个因数 即 、、
3 3 3 2 002 n = 1 ,2 + 1 4 , 1 3
x1 + x2 + ?+ x n = 2 002
p p
1 1 1 1 p
(2 + 1) 、2 + 1 ,由于 p1 ≥5 ,则 3 ≠ (2 1 + 1) .
有整数解. (乌兹别克斯坦提供) 3 3
3
≡ ≡ p p ?p n - 1
解 :因为 2 002 4 (mod 9) ,4 1 (mod 9) ,2 002 假设 2 1 2 n - 1 + 1 至 少 有 4 个 因 数 , 对 于
p p ?
1 2 p
= 667 × 3 + 1 ,所以 , 2 n + 1 , 设 u = p1 p2 ? pn - 1 , v = pn . 由 于
2 002 ≡ 2 002 ≡ v
2 002 4 4(mod 9) . u 2 + 1 1 u v
2 + 1 , = 1 ,于是 , m = (2 + 1) (2 + 1) 至
3 3 3
又 x ≡0 , ± 1(mod 9) ,其中 x 是整数 ,于是 ,
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