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22 中 等 数 学 竞赛之窗 第 47 届 IMO 试 题 解 答 　　1. 设 I 为 △ABC 的内心 , P 是 △ABC 内 由于点 P、I 位于边 BC 的同侧 ,故点 B 、C、I 、P 部的一点 ,满足 四点共圆 ,即点 P 在 △BCI 的外接圆ω上. 记 Ω 为 △ 的外接圆 则 ω的圆心 是 Ω ∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB . ABC , M 证明 : AP ≥AI ,并说明等号成立的充分 的BC的中点 ,即 ∠A 的平分线 AI 与Ω的交点. 又在 △ 中 有 必要条件是 P = I. APM , ≥ 2. 设 P 为正 2 006 边形. 如果 P 的一条 AP + PM AM = AI + IM = AI + PM. 故 ≥ 对角线的两端将 P 的边界分成两部分 ,每部 AP AI. 等号成立的充分必要条件是点 P 位于线段 AI 分都包含 P 的奇数条边 ,那么 ,该对角线称 上 ,即 P = I. 为“好边”. 规定 P 的每条边均为好边. 2. 如果等腰三角形具有两条好边 ,则简记为“好 已知 2 003 条在 P 内部不相交的对角线 三角形”. 设 △ABC 是一个好三角形 ,且 AB 、BC 为好 将 P 分割成若干个三角形. 试问在这种分割 边. 那么 ,在点 A 与点 B 之间 ,存在 P 的奇数条边 ; 之下 ,最多有多少个有两条好边的等腰三角 对 B 与 C 也一样. 我们称这些边属于好 △ABC. 形 ? 于是 ,在这???组的每一组中 ,至少有一边不属于 3. 求最小的实数 M ,使得对所有的实数 任何其他好三角形. 这是因为三个顶点在 A 与 B 之 a 、b、c ,有