第48届IMO预选题解答.pdfVIP

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2017-04-21 发布于广东
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第48届IMO预选题解答.pdf

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8 22 中等数学竞赛之窗第 48 届 IMO 预选题(一) 李建泉　译 (天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所 ,300387) 4 2 ≡ 数论部分 k + n 1 + 1 = 2 (mod 4) . 而 7 k - 3 n ≡7 - 3 ≡0 (mod 4) ,矛盾. 1. 求所有的正整数对( k , n) ,使得因此 , k 和 n 同为偶数. k n 4 2 (7 - 3 ) | ( k + n ) . 设 k = 2 a , n = 2 b. 则设、是大于的整数若对每一个 a b 2. b n 1 . k n 2 a 2 b 7 - 3 a b 7 - 3 = 7 - 3 = ·2 (7 + 3 ) . 大于 1 的正整数 k ,都存在一个整数 ak ,使得 2 n n a b ( ) 证明存在整数使得 7 - 3 a b k| b - ak , : A , b = A . 因和 2 (7 + 3 ) 都为整数 ,所以 , 3. 设 X 是由 10 000 个整数构成的集合 , 2 ( a b ) ( k n ) 且集合中的每一个数都不是 47 的倍数. 2 7 + 3 | 7 - 3 . 又 (7 k - 3 n ) | ( k4 + n2 ) ,即证明 :存在 X 的 2 007 元子集 Y ,使得对于任 (7 k - 3 n ) | 2 (8 a4 + 2 b2 ) , 意的 a 、b 、c 、d 、e ∈Y ,均有 a b ≤ 4 2 47 ( a - b + c - d + e) . 则　7 + 3 8 a + 2 b . 用数学归纳法证明 : 4. 对于每个整数 k ( k ≥2) ,证明 : 4 a k k - 1