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2005 年第 9 期 32
第 45 届 IMO 预选题(上)
李 建 泉 译
(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所 ,300074)
直径 ,且垂直于直线 l ,点 B 比点 A 更靠近直
代 数 部 分
线 l. 在圆 Γ上任意取一点 C ( C ≠A 、B ) ,直
1. 本届 IMO 第 4 题. 线 AC 交直线 l 于点 D ,直线 DE 与圆 Γ 切
2. 已知无穷实数列 a0 , a1 , a2 , ?满足条 于点 E ,且点 B 、E 在 AC 的同一侧. 设 B E 交
≥ ≠
件 an = | an + 1 - an + 2 | , n 0 ,其中 a0 、a1 是 直线 l 于点 F ,AF 交圆Γ于点 G( G A) . 证
两个不同的正数. 问这个数列是否有界 ? 明 :点 G 关于 AB 的对称点在直线 CF 上.
3. 是否存在一个函数 f : Q→{ - 1 ,1} ,使 3. 设点 O 是锐角 △ABC 的外心 , ∠B
得如果 x 、y 是两个不同的有理数 ,且满足 xy ∠C , 直 线 AO 交 边 BC 于 点 D , △ABD 、
= 1 或 x + y ∈{0 ,1} ,则 f ( x) f ( y) = - 1 ? 证 △ACD 的外心分别为点 E、F. 延长 BA 和
明你的结论. CA ,在延长线上分别取点 G、H ,使得 AG =
4. 本届 IMO 第 2 题. AC ,AH = AB . 证明 :四边形 EFGH 是矩形的
5. 设 a 、b、c 0 ,且 ab + bc + ca = 1. 证 充分必要条件是 ∠ACB - ∠ABC = 60°.
明 :不等式 4. 本届 IMO 第 5 题.
3 3 3 5. 已知正 n 边形 A A ?A ,定义点 B ,
1 1 1 1 1 2 n 1
+ 6b + + 6c + + 6 a ≤ .
a b c abc B 2 , ?, B n - 1 如下 :
6. 求所有函数 f : R →R,满足方程 (1) 如果 i = 1 或 i = n - 1 ,则 B i 是边
2 2 2
f ( x + y + 2f ( xy) ) = ( f ( x + y) ) , AiAi + 1 的中点 ;
其中 x 、y 为任意实数.
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