第44届IMO预选题解答.pdfVIP

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2017-04-21 发布于广东
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第44届IMO预选题解答.pdf

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2004 年第 5 期 72 第 44 届 IMO 预选题解答(上) 李建泉　译数 ,且 g (0) = 0 , g ( - 1) = - 1. 代数部分当 a 1 b 时 ,有 g ( - ( a - 1) ( b - 1) ) = - g ( a - 1) g ( b - 1) . 　　1. 设实数 aij 满足 :当 i = j 时 , aij 为正数 ;当 i ≠j 于是 ,对于所有实数 x 、y ,若 x 0 y ,则有时 , aij 为负数 ,其中 i = 1 ,2 ,3 ; j = 1 ,2 ,3. 证明 :存在 g ( - xy) = - g ( x) g ( y) ; 正实数 c1 、c2 、c3 ,使得下列三个数或对于所有 y 、z 0 ,有 a11 c1 + a12 c2 + a13 c3 , a21 c1 + a22 c2 + a23 c3 , g ( yz) = - g ( y) g ( - z) . a31 c1 + a32 c2 + a33 c3 , 反之 ,若 g 满足这个条件 ,则 f ( x) 满足原条件. 要么都是负数 ,要么都是正数 ,要么都是零. 若 g (1) = 0 ,则对任意 z 0 ,有 g ( z) = 0. (美国　提供) 设 g : R→R是任意一个非减函数 ,且满足证明 : 设在空间直角坐标系中 , O ( 0 , 0 , 0) , g ( - 1) = - 1 , g ( x) = 0 ( x ≥0) . P( a11 , a21 , a31 ) , Q ( a12 , a22 , a32 ) , R ( a13 , a23 , a33 ) . 于是 , g 满足条件. 从而可得满足条件的函数只要证明 ,在 △PQR 中存在一点 ,其坐标要么都是 f ( x) = g ( x - 1) + 1. 负数 ,要么都是正数 ,要么都是零. g ( z) 设 P、Q、R 在 xOy 平面上