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2014 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次.
一、（本题满分 40 分）设实数abc,, 满足abc++=1 ， abc 0 . 求证：
abc 1
ab++ bc ca +.
24
1
证明 1 若 ab++≤ bc ca ，则命题已成立.
4
1 1
若 ab++ bc ca ，不妨设 a= max{ abc , , } ，则由abc++=1 知 a ≥ . 我们
4 3
有
1(abc++ )2 1 1 a
ab+ bc + ca ?≤ ?= ≤， ①
4 3 4 12 4
…………………10 分
11
以及 ab+ bc + ca ?= a() b + c ?+ bc
44
1 11
=a(1 ? a ) ?+ bc ≤?+ bc = bc ， ②
4 44
1 1
其中①式等号在a = 时成立，②式等号在a = 时成立，因此①，②中等号不能
3 2
同时成立. …………………30 分
1
由于 ab+ bc + ca ?0 ，将①，②式相乘得
4
2
??1 abc
??ab++? bc ca ，
??44
1 abc
即 ab+ bc + ca ? ，
42
1
abc 1
从而 ab++ bc ca +. …………………40 分
2
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