李建泉命制模拟真题（二）及答案.docVIP

PAGE  PAGE 5 2013年全国高中数学联赛全真模拟（二） 北京清北学堂内部资料 （清北学堂教研部特邀奥赛名师李建泉教授命制，内部资料，禁止翻印。） 第二试 一、 已知的外心为，内心为，垂心为，分别以为直径向的外侧作半圆。过点分别作的平行线，与半圆分别交于点；过点分别作的平行线，与半圆分别交于点；过点分别作的平行线，与半圆分别交于点，证明六点共圆；若六边形的外接圆的圆心为，则。 二、求所有正实数构成的集合，对于任意满足的实数，都存在实数对，使得；若对于某个，使得存在唯一的实数对满足上述条件，求。 三、求所有正整数组，使得。 四、证明：不存在整点正六边形；存在正六边形及整点，使得对于每个，均有。 参考答案 一、证明：因为分别为边的中点，所以，于是有三点共线。同理可得三点共线，即四点共线。同理可得四点共线，四点共线。设的内切圆半径为，其内心为，在上的投影为，由于，则。同理到的距离也均为，因此六点共圆，且为该圆的圆心。 由于就是六边形的外接圆的圆心，于是。设的重心为，则是和的位似中心。由于和的内心分别为，和垂心分别为，则，且。 二、解 ： 因为，所以线段夹在椭圆弧与之间，其中；，，。将化为，且设，则的方程为，于是在的上面，其中两点为椭圆弧和线段的公共点。 若与相切或不交，则即为满足条件的一条线段，即存在。将代入，可得。由判别式，可得，从而有。 当与相切时，满足条件的线段与重合，此时存在唯一的实数对满足条件，即，的方程为，从而可得。 三、解：若，由， 可得。因为，且的奇偶性不同，所以，于是，即，从而为满足条件的一组解。 若，由，可得，其中奇偶性不同，且。 若，即，则，即，无正整数解； 若，即，则，即，无正整数解； 若，即，则，无正整数解。 若，由， 可得 。设，则同为偶数，且。 若，则为奇素数，无正整数解； 若，则，无正整数解； 若，则，无正整数解。 若，由于，则。 当时， ，无解； 当时，，无解。 若，由于，则，，无解。 若，由于，则，，无解。 若，由于，则，由于和均不是的次幂，无解。 综上所述，。 四、证明 ：若存在整点正六边形，设，其中，且按逆时针排列，则，即，比较实部、虚部，可得， 于是，矛盾。 设正六边形的坐标分别为，其中为待定的正整数，由对称性，只要证明存在整点，使得。 下面证明存在正整数，使得。对于，因为，所以存在，使得，即。设，则有。 设， 则， 。