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生态复杂性（杂志名） 用雅理氏效应分析离散时间内的捕食与被捕食者系统 王万雄，张寅博，刘长钟 草原科学学院，甘肃农业大学草原生态系统重点实院室，教育部，甘肃农业大学，中华人民共和国 数学系，兰州交通大学，兰州，甘肃 730070，中华人民共和国 文章信息： 文章历史： 2010年1月12号收到 2010年4月14收到校订版的文章 2010年5月21日在网上发表 关键词： 捕食者与被捕食者系统 雅理氏效应 稳定性分析 混沌 摘要： 这篇文章使用雅理氏效应来处理离散时间内的捕食者与被捕食者系统，我们渐近地获得一个服从雅理氏效应的平衡点的稳定性条件。雅理氏效应对捕食者与被捕食者种群的平衡作用被独立地研究。雅理氏效应对捕食者与被捕者种群双方的作用也将通过稳定性分析、相位面、分歧图分析加以讨论。我们的研究揭示雅理氏效应对种群动态有稳定的作用。 1、引入： 雅理氏效应是一个已经吸引了生态学家们的浓烈兴趣的重要现象。（Birkhead，1977，Dennis，1989，McCarthy et al,1997,Lande et al,2003)，和雅理氏效应相关的不同机制已经被单一地讨论研究了。它描述了在小种群面积或者低种群密度下个体间的积极的相互作用，以及对幸存者以及复制品可能决定性的相互作用。种群在低于种群密度临界值的情况下会走向灭亡，而在高于种群密度的情况下则会数量增加。所以雅理氏效应对濒临灭绝以及新出现的物种来说是非常重要的。（Saether et al. ,1996,Gyllenberg et al .1999,Gascoigne and Lipcius,2004)。雅理氏效应的出现有很多原因，比如：低种群密度时个体寻找同伴，另一原因是对捕食者、社会功能紊乱的物种趋势之类状况的抵御能力的大幅度降低。很多调查已经显示雅理氏效应可能是一个生态系统的动摇因素（Wang et al.,1999）。但是有些文章已经将注意力转向稳定性作用借以处理雅理氏效应（Scheuring,1999,Fowler and Ruxto,2001)。更多对植物与动物的研究已经表明，雅理氏效应在自然界是非常普遍的。（A恩恩爱爱，1931，Dobson and Lyles,1989;Amarasekare,1998;Stephens et al.,1999;Stephen and Sutherland,1999，Berec et al.2006)，重新查看对多种雅理氏效应的证据，会发现它们的关系可以采取多种方式，而且很多还是非常重要的。（Aguirre et al.2009)考虑一个来源于通过考虑一个非单调函数反应以及对被捕食者的雅理氏效应得到的莱斯利类型的捕食者与被捕食者方案的二维的持续时间的微分方程系统，这显示说这个系统是允许一个由霍普夫分歧关生的不稳定的极限环旁边存在一个稳定的极限环。 然而，由关注离散时间内的捕食与被捕食者系统的稳定性来处理雅理氏效应的研究并不多。而这一研究的重要性是让人们很好的理解雅理氏效应对离散时间的捕食者与被捕食者系统的影响。（uelik 和 Duman,2009)用雅理氏效应对被捕食者种群的作用来考虑下面的捕食者与被捕食者系统： Nt+1=Nt+rNt(1-Nt)-aNtPt Pt+1=Pt+aPt(Nt-Pt) 在这里，Nt与Pt分别是在t时刻被捕食者者与被捕食的种群密度，r和a是确定的常量，式子Nt(1+r(1-Nt))代表的是在捕食者不存在的情况下被捕食者的增长率，a表示捕食系数时，aNtPt代表的是因为捕食而产生的种群减少率。最后，Pt(1+a(Nt-Pt)代表的是考虑到被捕食者的数量而产生的捕食者密度的变化。研究了离散时间的捕食者与被捕食者系统的稳定性后，通过稳 定性分析，相面位以及分歧图分析，展示了雅理氏效应的稳定作用。为了反应根据过去这个系统的数据得到的这个模型的动态行为，我们调查了在离散时间内捕食者与被捕食者的雅理氏效应的影响。 2、被捕食者群体的雅理氏效应 现在我们考虑（1.1）这个系统，当被捕食者群体服从雅理氏效应如下， Nt+1=Nt+rNt(1-Nt)(1-e-ENt)-aNtPt (2.1) Pt+1=Pt+aPt(Nt-Pt) 在这里，1-e-EN（Dennis,1989,Stone和Ray-culp，2000)代表雅理氏效应的配对，雅理氏效应的意思是在一个小群体或者低种群密度的情况下，很难找到一个可以共处的兼容的同伴。E可以被 定义为雅理氏效应常数，首先，假设这个模型的唯一确定的平衡点为（N*，P*），当N*=P*并且相信 f0(N*)=r(1-N*)(1-e-EN*)-aN*=0 将系统（2.1）关于（N*，P*）线性化，我们会得到相应的雅可比矩阵如下： J