定积分的概念案例.ppt

四、小结 例2 利用定义计算定积分 解 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点 等比数列 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 3 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 13 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 23 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 33 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 43 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 53 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 63 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 73 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 83 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 93 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 103 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 113 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 123 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 133 * 实例1 （求曲边梯形的面积） 求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积 一、问题的提出 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 x x x 1 x 1 x y 1 x y y 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 （1）分割 问题 以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线 y = f(x)为曲边，以 [a,b] 为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间 [a,b] 所走过的路程 归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程） 解决方法： 通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限 问题情境: 1.曲边梯形面积问题; 2.变力作功问题; 3.变速运动的距离问题. 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义 它们都归结为:分割、近似求和、取逼近 定积分的定义: 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和 如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: . 积分下限 积分上限 被积函数 积分变量 曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为 变力作功问题可表示为 1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________. 2. 中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______ 举例 2 -2 [-2,2] 3.定积分 =__________. 8 注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关 思考: 函数在区间[a,b]上的定积分 能否为负的? 定积分 定积分 =__________. 三 .定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分