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重庆大学《高等代数(2)》课程试卷参考答案  2010~2011学年 第二学期 开课学院：数学与统计学院 课程号考试日期：2011-6 考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 填空题（每空3分, 共21分）： 1、实二次型正定　0 ，。 2、上线性变换定义如下：，则在基下的矩阵是。 3、中全体对称矩阵做成的数域P上的线性空间的维数是 。 4、设三级方阵的三个特征值为1、2、－2，矩阵与相似，则的特征值为 1、2、－2 , 伴随矩阵的三个特征值为-4、-2、2 。 5、设矩阵的初等因子为，则它的不变因子是,,。 6、在中定义内积为，则的长度是　 。 二、（12分）设为级实对称矩阵，则是半正定矩阵的充分必要条件是对于任意的正数，总是正定矩阵。 证明： 必要性：，有。 因为，所以。又因为是半正定矩阵，所以。 于是，从而总是正定矩阵。………(4分) 充分性：设的特征值为且。 则的特征值为。由于总是正定矩阵， 故。若，则有，使得 ，此与矛盾，故，从而。 所以是半正定矩阵。…………………………………………(12分) 三、（15分）设是数域上维线性空间的线性变换且,证明： （1）的特征值为1或0； （2） （3） 证明（1）设是的特征值，是对应的特征向量，即因为故有但 故 ………………………………（5分） （2）　 ………………………………………………………（10分） （3）则 又 从而 由（2）知，可以证明所以（或）即可得 ………（15分） 四、（18分）设二次型 1． 写出这个二次型的矩阵A； 2． 求A的特征值及其线性无关的特征向量； 3． 求一个正交线性替换X=TY，将化为标准形； 4． 判断的正定性． 解：1．原二次型对应的矩阵为 ………（3分） 2．A的特征多项式为 特征值为 ……………………（6分） 相应的特征向量为 ………（9分） 相应的特征向量为 ……（12分） 3．标准正交基为 令X=TY, 其中 则 ……………………………（16分） 4．二次型的正惯性指数p=20，且负惯性指数q=20，所以二次型是不定的． ………………………………………………（18分） 五、（15分）已知复矩阵， 1． 求A的不变因子、初等因子； 2． 求A的若尔当标准形． 解：1．＝…………（5分） A的不变因子为 1，，初等因子为 。 ………………………………………………………………（11分） 2．A的若尔当标准形为 …………………………（15分） 六、（12分）欧氏空间中的线性变换称为反对称的，如果对任意，（）（，），证明： 1. 为反对称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反对称的； 2. 如果是反对称线性变换的不变子空间，则也是． 证明： 必要性。 设是反对称线性变换，且在标准正交基下的矩阵为A。则有。于是 （，）＝，（，）＝。 又因为是反对称线性变换，所以＝－，从而A是反对称矩阵。 …………………………………………………………………………（4分） 充分性。 设在标准正交基下的矩阵为反对称矩阵A，其中。则有 （，）＝＝－＝－(，）。 ，设，于是 （，）＝（） ＝（ ＝ ＝－（） ＝－（，）。 所以是反对称线性变换。…………………………………………（8分） （2） 。因为W是的不变子空间，故。 于是，由是反对称线性变换，得 （，）＝－（，）＝0。 所以也是的不变子空间。……………………………………（12分） 七、（7分）设为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且，可逆。证明为正交矩阵。 证明： 于是为正交矩阵。……………………………（7分） 重庆大学试卷 教务处07版 第 1 页 共 3 页 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 命题人： 组题人： 审题人： 命题时间：