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《高等代数》试题5 选择题。（每小题5分，共15分） 1、设都是三维向量空间的的基，且，则矩阵是由基到（ ）的过渡矩阵。 （A） （B） （C） （D） 2、n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）。 （A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件 （C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 3、设，是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 4、对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ ）。 （A）一定有n个不同的特征根。 （B）正交矩阵P，使成对角形。 （C）它的特征根一定是整数。 （D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 5、设向量组线性无关。线性相关，则（ ）。 （A）线性表示。 （B）线性表示。 （C）线性表示。 （D）线性表示。 二、填空题（每小题3分共15分） 1、设为变换，V为欧氏空间，若都有，则为 变换。 2、在 。 3、令S是数域F上一切满足条件的n阶矩阵A所成的向量空间，则= 。 4、n+1个n维向量构成的向量的一定线性 的。 5、设V与W都是F上的两个有限维向量空间，则 。 三、计算题（共55分） 1、（15）设非齐次线性方程组为 试问（1）取价值时，方程组有唯一解？并求出唯一解。 （2）取价值时，方程组有无穷多解？并用基础解系表示出来。 （3）取价值时，方程组无解？ 2、 （5分）取何值时， 实二次型是正定的？ 3、（10分）设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。 4、（10分）设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。 5、（15分）设中的两个基分别为， 求由基的过渡矩阵。 已知向量在基下的坐标为x=，求在基下的坐标。 四、证明题（共 15 分） 1、（8分）设u?是一个正交矩阵，且，证明 ①u有一个特征根等于1。 ②u的特征多项式有形状,这里-1≤t≤3 2、（7分）全是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，那么线性无关。