§角函数求值.docVIP

§4.5 三角函数求值 预备知识 ?已知锐角，求三角函数值 ?三角函数的几何意义 重点 ?从三角函数线得到特殊角的三角函数值 ?三角函数的周期性和周期 难点 ?对周期函数和周期的理解 学习要求 ?能熟记特殊角的三角函数值，并了解它们的来历 ?理解三角函数具有周期性的特点，并记住正弦、余 弦和正切函数的周期 ?会用计算器，求任意角的三角函数值 直到现在，还没有介绍，已知任意一个角?，怎么来求得三角函数值sin?, cos?和tan?．本节将学习一些特殊角度的三角函数值，如何利用计算器求三角函数值． 1. 特殊角的三角函数值 所谓在[0, 2?]内的特殊 的角，就是表4-1中所列的 就是那些角．图4-27表示 所有这些特殊角及对应的正 弦线和余弦线及部分正切线． 　　对第一象限内的几个特 殊角，三角函数线的数值是 可以应用直角三角形知识， 直接算出来的．如特殊角， 正弦线、余弦线和正切线依 次为其MP,OM和AT(见图 4-27)．因为直角三角形的一 个锐角为?OPM=30?=(另 一个锐角为60?=)时，边长之比是 对边：邻边：斜边=：：1， 在Rt?OMP中，两个锐角正是30?和60?，而OP=1(单位圆半径)，所以MP=，OM=；同样在Rt?OAT中，两个锐角也是30?和60?，而OA=1(单位圆半径)，所以OT=2，AT=．这样角的三条三角函数线的数值就轻而易举地得到了． 　　图4-27中，特殊角,,的正弦线、余弦线和正切线的长度，就是这样计算出来的．只要改动符号，[0,2?]内所有特殊角的正弦线、余弦线及有意义的正切线的数值，就可全部得到．例如的正弦线是，余弦线是-，而正切线是-，即 sin=, cos=-, tan=-． 　　现在，请你自己把表4-2中所列的[0,2?]内的特殊角的三角函数值，全部填写进去．在使tan?无意义的某些特殊角栏内，填写“不存在”． 表4-2 特殊角三角函数值表 ?(度) 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? (弧度) sin? cos? tan? ?(度) 210? 225? 240? 270? 300? 315? 330? 360? (弧度) sin? cos? tan? 　　表4-2中所列的这些特殊角的三角函数值，是最经常使用的，你必须要予以熟记．当然也不必硬背，你只要记住[0,]内特殊角的三角函数值就行了，其余均可以从图4-27和三角函数线的长度及值的符号推算出来． 　　例1　计算下列各式： 　　(1)4sin90?+3cos0?；(2)-3sin270?+10cos180?；(3)(sin)3-cos?； 　　(4)3tan?-5cos； (5)(sin)2+(cos)2； (6)tan?sin?cos； (7)cos?cos?tan． 解　(1)4sin90?+3cos0?= 4?1+3?1 =4+3=7 ▍ (2)-3sin270?+10cos180?=-3? (-1)+10?(-1)=-7 ▍ (3)(sin)3-cos?=(-1)-(-1)=0 ▍ (4)3tan?-5cos =3?0-5?(-)= ▍ (5)(sin)2+(cos)2=()2+()2=+=1 (其实，本题根本不必计算，直接可以写出结果1，你知道为什么吗？) ▍ (6)tansin?cos=?(-)=- ▍ (7)cos?cos?tan= (-)?0?(-)=0 ▍ 课内练习1 1. 计算下列各式： (1)4sin135?+3cos225?；(2)3sin180?+10cos135?；(3)(sin)3 -cos； (4)3tan-5cos； (5)(sin)2+(cos)2； (6)tan?sin?cos； (7)cos?cos?tan． 　　2. 三角函数的周期性和周期 到现在，你已经知道[0, 2?]内的特殊角的三角函数值了，那么对除此以外的角，如何求它们的三角函数值呢？首先，求在[0,2?]以外的角的三角函数值问题，都能转化成[0, 2?]内的角的三角函数值问题；对正切和余切函数，甚至都能转化成[0,?]内的角的三角函数值问题，实行这种转化的依据，就是三角函数的周期性． 　　(1)正弦函数和余弦函数的周期性 　　从任意角三角函数的定义可知，如果任何一个角?与另一个角?1的始边和终边重合，那么这两个角的三角函数值是 相等的，如图4-28，?1=2?+?，因此 sin?1=sin(2?+?)=sin?， cos?1=cos(2?+?)=cos?． 更一般地，?与?1=2k?+? (k? Z),若始边重合，