§初等函数--.docVIP

PAGE  PAGE 19 §2.3 初等函数 教学目的：掌握复变量初等函数的概念与性质；熟练掌握几 类常用初等单值解析函数的运算与性质，并了解几类典型的初等多值解析函数．能正确灵活地计算复数式的值、解复方程． 重点：正确进行初等函数的相关运算．难点：对数函数与幂函数的概念理解与相关计算． 教学过程： 初等复变函数是一种最简单、最基本也是最常用的函数，其在复变函数论及其应用中有着重要意义和应用. 初等函数推广到复数时展示了许多特有性质.如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性，特别是多值函数的本质在此得到了完满阐述与充分揭示. §2.3.1 指数函数 1.指数函数定义 【定义2.5】对于复数,称为复指数函数,记为或 .定义域全体复数. 2.复指数函数的一些常用性质 （1）当(此时虚部)时, ,表明复指数函数是实指数函数在复数域上的推广. 当(此时实部)时, 欧拉公式 从而 , (，… )； 显然在z平面上 ,即复指数函数在z平面上无零点. (2) 在z平面上解析（单值函数）, 且 . (3) 加法法则成立, 即对任意两个复数, 总有 . 证：事实上, 设,则 从而由复指数函数的定义： ＝. 故加法法则成立. 可以 证明减法法则对复指数函数也成立 . 提示：. (4) 是以为周期的周期函数（）. 说明：由定义知 （）, 进而 . 从而 (). (5) 不存在 ( 即 无意义), 且 是无界函数. 因为：当z沿着实轴趋于时, ，即 , 而当z沿着实轴趋于时, ，即 , 故 不存在. 例1 求，的值. 解 由复指数的定义：； ； ； ； . 或 . 例2 利用复数的指数表示计算 . 解 . §2.3.2 对数函数 1．幅角函数※ 初等多值函数的多值性显然都应归结为幅角函数的多值性. 2.【定义2.6】 设复数,把满足的复数 称为复数的对数函数, 记. 显然，对数函数是指数函数的反函数. 令, 由得 ， 即 , . 于是 ,（） 对数函数的一般表示 也是一个无穷多值函数(由的多值性引起). , （k为一切整数） 对数函数的分支表示 其中 , 对每个固定的整数k, 称为对数函数的第k分支函数. 当k=0时, 为对数函数的主值(支), 记为,其中. 可见, 对数函数一般是由无穷多个分支函数构成, 并且任何不为零的复数有无穷多个对数, 其中任意两个相差的整数倍. 如果是正实数, 则主值恰好就是通常的实对数. 3. 对数函数的性质： 1）对数函数的运算法则： 设是不为零的复数,则 注意：上面两个法则虽然形式上与实对数法则类似, 但在理解时应按照集合相等来理解. 2）等式 （其中为大于1的正整数）不再成立.(对于给定的值而言) 3）解析性：在除原点和负实轴外的复平面上解析.【的各个分支在除原点和负实轴外的复平面上也处处解析】且.（主值支是单值函数） 例3计算 （1） 解： , （2） 解, . （3）设, 则, ； （4）设, 则 , k为一切整数. 特别, , , k为一切整数. 例4 求，. 解 （1）因为, ; 所以, (,,,) （2） . §2.3.3 幂函数（简讲） 【定义2.7】函数（为复常数, 为任意不为零的复数）定义,并称它为复变量的幂函数. 规定：当为正实数且时，. 由于的多值性，一般为多值函数（当整数时是单值函数）. 结论：的相应的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上解析. （为整数时与相应实函数可导一致） 在各分支上有. 显然此定义在形式上是实数域中等式 (, 为实数)在复数域中的推广. 由于, 为一切整数, 其中 为主值, , 则 , 为一切整数 一般幂函数的分支表示 可见,对于不为零的复数,的取值个数主要因式子的取值个数确定. 下面, 我们分三种情形来讨论一般幂函数 1）当为整数时, 由于, 且 所以 是单值函数,而且就是通常的指数为整数 的幂函数. （1）当为正整数时, 是一个单值函数.函数在复平面上处处解析. （2）当为负整数时,仍是一个单值函数. 函数在复平面上除外处处解析. （3）时，=0（） 2）当为有理数（与互质，且即成既约分数）即时,（为整数）. 由于与互质，当取0，1，2，时， 有个不同的值.所以是值函数，即函数有个不同的分支. 特别地，当（n为正整数）时, 是一个值函数（它就是前面介绍的根式函数）. 显然, 当时, 恰好也是幂函数与根式函数复合而成的函数. 3）当为无理数或虚数（）时, 由于有无穷多个取值,因此, 此时是一个无穷多值的多值函数. 例5 求； ，，. 解 （1）, ，k为一切整数. （2） , . 它的主值为