§-定积分的换元法和分部积分法.docVIP

§5—3定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元法 例1 计算． 令sinx=u u=sinx回代 解 =u3+C sin3x+C． 　　(1) 于是 ==(1－0)=． 　　(2) 令sinx=u 分析解题过程．在(1)式先求出u2的原函数u3，然后作变量回代得到原函数sin3x，最后在(2)式中作双重代换，在x=0，x=时以sin0=0， sin=1代入得到定积分．注意当x=0，时，u=sin0=0，u=sin=1，如果直接对u2的原函数u3作u从0到1的双重代换，与变量回代后对sinx从0到的双重代换，完全是等效的．可见在求定积分时变量回代实属多余，其实在实施换元u=sinx的同时，也改变原x的积分限0，为u的对应限0，1，即 =， 能得到同样结果． 在一定条件下，把“换元?新元的原函数?回代?作双重代换”得定积分的过程，改为“换元、换积分限?新元的原函数?在新积分限上作双重代换”得定积分，是可以得到相同结果的． 令u=?(x)，x=a?u=? x=b ? u=? 定理1 设(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)??(x)在[a，b]上连续，且??(x)?0， x?(a，b)；(3)?(a)=?，?(b)=?，则 　　　 ． 令x=?(t)， t=??x=a t=? ?x=b 定理2 设(1)f(x)在[a，b]上连续； (2)??(t)在[?，?]上连续，且??(t)?0， t?(?，?)；(3)?(?)= a，?(?)=b.则 ． 注意　两个定理中???0的条件，是新、老积分区间一一对应的保障，不可忽视，缺少这个条件可能会出现谬误结果．例如 令u=x2;x=?1，u=1 =0， 实际上， =．?(x)=x2， ??(x)=2x在(－1，1)有零点x=0，是产生错误的原因． 例2 计算下列定积分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 解：(1) u= x2;x=0，u=0;x=1，u=1 令 =． 令u=1+x2;x=0，u=1;x=2，u=5 (2)= ． 如果对不定积分换元法很熟悉，那么未必非要换元u=1+x2，可以直接写成 ===． 只是因为没有换元，当然也不存在换积分限问题． 令u=cosx;x=0，u=1;x=，u=0 (3)=－ －==． 如果对不定积分换元法熟悉，可以省却换元和换积分限过程，可以直接写成 =－=－=． 记住的是“换元变限，不换元限不变”的原则． (4)==． (5)令t=，即x=t2，dx=2tdt；当x=1， t=1， x=4，t=2，即x 从1?4 ? t 从1?2． 应用定理2得 =． (6)令x=asint， dx=acostdt；当x=0，t=0， 当x=a， t=，即x 从 0?a? t从0?． 应用定理2得 == ?a2． 例3 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，证明： (1)当f(x)为奇函数时，=0； (2)当f(x)为偶函数时，=2． 证明 =+， 在换元：令x=－t，则dx=－dt，x从－a?0 ? t 从a?0．于是 =， 从而 =＋＝． (1)当f(x)为奇函数时，有f(－x)+f(x)=0，所以=0； (2)当f(x)为偶函数时，有f(－x)+f(x)=2f(x)，所以=2． －a x y O a －a x y O a 本例所证明的等式，称为奇、偶 函数在对称区间上的积分性质．在 理论和计算中经常会用这个结论． 从直观上看，性质反映了对称 区间上奇函数的正负面积相消、偶 函数面积是半区间上面积的两倍这 样一个事实． 例4 计算下列各定积分： (1)；(2)． 解：(1)由于是[－，]上的偶函数，是[－，]上的奇函数，所以 =+=2+0=2=2． (2)由于x2|x|是[－1，1]上的偶函数，所以 =