§动量算符和角动量算符.docVIP

　 §4.3 动量算符和角动量算符 　 重点： ?? 动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征 　 　 （一）动量算符 动量算符是 （4.3-1） 动量的三个投影算符是 （4.3-2） 动量算符的本征值方程为 （4.3-3） 式中P是动量算符的本征值， 是属于这个本征值的本征函数，（4.3-3）式的三个发量的本征值方程为 （4.3-4） 它们的解是 （4.3-5） 取归一化常数 ，可使得动量本征函数 归一化为 函数。即取 （4.3-6） 得出 （4.3-7） （二）角动量算符 角动量算符 ?????????? 分量式 （4.3-8） 角动量平方算符 ???? ?? （4.3-9） （4.3-11） 的本征值方程为 ? ? （4.3-12） 把球极坐标中 的表达式（4.3-11）代入（4.3-12）得 （4.3-13） 式中 是算符 的属于本征值 的本征函数。（4.3-13）式正是氢原子的角量方程（3.4-7），要使波函数 在 变化的整个区域 内都是有限的，必须有 （4.3-14） 因此 的本征值 （4.3-15） 相应的本征函数 （4.3-16） 本征值方程 （4.3-17） 角动量z分量 的本征值方程为 （4.3-18） 容易求得 的本征函数和本征值分别为 ? （4.3-19） （4.3-20） 因为 ，所以 也是 的本征函数，满足本征值方程 （1） 和 的本征值都是量子化的（分立值）。 的取值由角量子数l唯一地决定，即 的取值由磁量子数m唯一地决定，即 ，由于 是角动量分量的本征值，所以 （ 的本征值的开方），但 是整数，因此 。 （2） 和 有共同的本征函数 。我们知道，在一个力学量的本征态下测量该力学量，其结果必然是相应的本征值，既然 是 和 的共同本征态，所在 态中， 和 同时有确定的测量值，分别为 和 。 同理，波函数 能够同时满足算符 的本征值方程，即它是这三个算符的共同本征态，因此在 态中， 都同时有确定值。