2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的数列问题试题 理 北师大版.docVIP

高考专题突破三 高考中的数列问题试题 理 北师大版 1．(2016·广州模拟)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为(　　) A. B．4 C．2 D. 答案　C 解析　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴ ∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴数列的前100项和为＋ ＋…＋＝1－＝. 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________． 答案　 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由4S2＝S1＋3S3， 得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)， 即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝. 4．(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________. 答案　－ 解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋都有Sn＝an－，若1Sk9 (k∈N＋)，则k的值为________． 答案　4 解析　由题意，Sn＝an－， 当n≥2时，Sn－1＝an－1－， 两式相减，得an＝an－an－1， ∴an＝－2an－1， 又a1＝－1， ∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列， ∴an＝－(－2)n－1， ∴Sk＝， 由1Sk9，得4(－2)k28， 又k∈N＋，∴k＝4. 题型一　等差数列、等比数列的综合问题 例1　(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q0，n∈N＋. (1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； (2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e. 解　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列． 从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2. 所以an＝2n－1(n∈N＋)． (2)由(1)可知，an＝qn－1， 所以双曲线x2－＝1的离心率 en＝＝. 由e2＝＝2，解得q＝， 所以e＋e＋…＋e ＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)] ＝n＋＝n＋(3n－1)． 思维升华　等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， 于是q2＝＝. 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－. 故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1 ＝(－1)n－1·. (2)由(1)，得Sn＝1－n＝ 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小， 所以1Sn≤S1＝， 故0Sn－≤S1－＝－＝. 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大， 所以＝S2≤Sn1， 故0Sn－≥S2－＝－＝－. 综上，对于n∈N＋，总有－≤Sn－≤. 所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－. 题型二　数列的通项与求和 例2　已知数列{