2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算试题 理 北师大版.docVIP

PAGE PAGE 5 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算试题 理 北师大版 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－eq \f(1,x＋1)，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案　D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案　D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案　C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　) A.e B.－e C.eq \f(1,e) D.－eq \f(1,e) 解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝eq \f(1,x)，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝eq \f(1,x0)，切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝ －1，解得x0＝e，故此切线的斜率为eq \f(1,e). 答案　C 5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝－eq \f(1,3)，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0. 答案　B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________. 解析　f′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x＋x·\f(1,x)))＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3. 答案　3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析　设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x， f′(x)＝eq \f(1,x)－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1. 答案　2x＋y＋1＝0 8.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________. 解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝eq \f(1,x)(x＞0)的导数为y′＝－eq \f(1,x2)(x＞0)，曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－eq \f(1,m2)(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1). 答案　(1，1) 三、解答题 9.(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围. 解　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， ∴当x＝2时，y′＝－1，y＝eq \f(5,3)， ∴斜率最小的切线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1， ∴切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)