2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式试题 理 北师大版.docVIP

第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式试题 理 北师大版 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π－α －α ＋α 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 【知识拓展】 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(　√　) 1．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝， ∴tan α＝＝－，故选D. 2．(教材改编)已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为(　　) A．± B. C. D．± 答案　D 解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝. ∴sin α＝－，cos α＝±＝±. 3．(2016·东营模拟)计算：sin π＋cos π等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D.－ 答案　A 解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－， cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－， ∴sin π＋cos π＝－1. 4．(教材改编)若tan α＝2，则＝ . 答案　 解析　＝ ＝＝. 5．已知函数f(x)＝则f(f(2 018))＝ . 答案　－1 解析　∵f(f(2 018))＝f(2 018－18)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1. 题型一　同角三角函数关系式的应用 例1　(1)已知sin αcos α＝，且α，则cos α－sin α的值为(　　) A．－ B. C．－ D. (2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝ . 答案　(1)B　(2)1 解析　(1)∵＜α＜， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos αsin α，∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. (2)(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋)·cos2α ＝·cos2α＝1. 思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案　A 解析　由 消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0， 即(cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－. 又α∈(0，π)，∴α＝， ∴tan α＝tan＝－1. 题型二　诱导公式的应用 例2　(1)(2016·长春模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝ . (2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{