2018版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合试题 理 北师大版.docVIP

第十章 计数原理 10.2 排列与组合试题 理 北师大版 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ (2)C＝＝ ＝ 性质 (1)0！＝1；A＝n！ (2)C＝C；C＝C＋C__ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　) (5)A＝nA.(　√　) (6)kC＝nC.(　√　) 1．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 答案　D 解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种情况，再将剩下的4个数字排列得到A种情况，则满足条件的五位数有C·A＝72(个)．故选D. 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 答案　D 解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24. 3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 答案　C 解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种， 共有AA＝48(种)． 4．某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 答案　1 560 解析　依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)留言． 5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种． 答案　14 解析　分两类：①有1名女生：CC＝8. ②有2名女生：CC＝6. ∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)． 题型一　排列问题 例1　(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法． (2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． 答案　(1)2 520　(2)216 解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520(种)排法． (2)当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种．故不同的排法共有A＋CA＝120＋96＝216(种)． 引申探究 1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040(种)排法． 2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．根据乘法原理，共有A·A·A＝288(种)排法. 3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法． 4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3 600(种)排法． 思维升华　排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制