专题元次方程根的判别式.docVIP

专题三一元二次方程根的判别式[学生用书B14]__ (教材作业题第5题) 已知一元二次方程ax＋bx＋c＝0的系数满足判 解：Δ＝b－4ac0 所以原方程有两个不相等的实数根． 【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况也可以根据一元二次方程根的情况确定方程中的未知系数．常常有以下的应用． 一　判断一元二次方程根的情况 　[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) ＋3＝0　　　　 ＋2x＝0 (x＋1)＝0 (x＋3)(x－1)＝0 　[2013·潍坊]已知关于x的方程kx＋(1－k)x－1＝0下(　　) 当k＝0时方程无解 当k＝1时方程有一个实数解 当k＝－1时方程有两个相等的实数解 当k≠0时方程总有两个不相等的实数解 　[2013·滨州]对于任意实数k关于x的方程x－2(k＋1)x－k＋2k－1＝0的根的情况(　　) 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 无法确定 　[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x＋(m＋3)x＋m＋1＝0. 求证：无论m取何值原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)－4(m＋1)＝(m＋1)＋4. 无论m取何值时(m＋1)＋4的值恒大于0 ∴原方程总有两个不相等的实数根． 　[2012·绵阳]已知关于x的方程x－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1请求出方程的另一个根并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】 (1)根据关于x的方程x－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论． 解：(1)∵b－4ac＝[－(m＋2)]－4×1×(2m－1) ＝m－4m＋8 ＝(m－2)＋40 ∴方程恒有两个不相等的实数根． (2)①把x＝1代入方程x－m＋2)x＋(2m－1)＝0中解得m＝2 ∴原方程为x－4x＋3＝0 解这个方程得x＝1＝3 ∴方程的另一个根为x＝3. ②当1为直角边时斜边为＝ ∴周长为1＋3＋＝4＋； 当3为斜边时另一直角边为＝2 ∴周长为1＋3＋2＝4＋2 二　确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围 　[2013·泸州]若关于x的一元二次方程kx－2x－1＝0有两个不相等的实数根则实数k的取值范围是(　　) ＞－1 ＜1且k≠0 －1且k≠0 ＞－1且k≠0 　[2012·广州]已知关于x的一元二次方程x－2－k＝0有两个相等的实数根则k的值为__－3__． 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x－2－k0有两个相等的实数根 ∴Δ＝0 即(－2)－4×(－k)＝12＋4k＝0 解得k＝－3. 　[2013·郴州]已知关于x的一元二次方程x＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根则b的值是____． 　已知关于x的一元二次方程x＋kx－＝0 (1)求证：不论k为何实数方程总有两个不相等的实数根； (2)当k＝2时用配方法解此一元二次方程． 解：(1)证明：∵a＝1＝k＝－3 ∴Δ＝k－4×1×(－3)＝k＋12 不论k为何实数 ∴k2＋12＞0即Δ＞0 因此不论k为何实数方程总有两个不相等的实数根． (2)当k＝2时原一元二次方程为x＋2x－30， ∴x2＋2x＋1＝4 ∴(x＋1)＝4 ∴x＋1＝2或x＋1＝－2 ∴此时方程的根为x＝1＝－3. 　[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数且该方程的根都是整数求k的值． 解：(1)Δ＝b－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. 方程有两个不相等的实根 ∴20－8k0 ∴k. (2)∵k为正整数 ∴0k(且k为整数)即k为1或2 ∴x1，2＝－1± ∵方程的根为整数 ∴5－2k为完全平方数． 当k＝1时－2k＝3不是完全平方数； 当k＝2时－2k＝1是完全平方数 ∴k＝2. 三　一元二次方程隐含条件的综合运用 　[2013·六盘水]已知关于x的一元二次方程(k－1)x－2x＋1＝0有两个不相等的实数根则k的取值范围是(　　) ＜－2 ＜2 ＞2 ＜2且k≠1 　[2012·岳阳]关于x的一元二次方程kx＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实数根则k的取值范围是__－且k≠0__． 　[2013·咸宁]关于x的一元二次方程(a－1)x－2x＋3＝0有实数根则整数a的最大值为(　　) C．0 D．－1