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2015届高三直升班第二轮复习 专题八 数学思想方法 第3讲　分类讨论思想 1．分类讨论的常见类型 （1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． （3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． （4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． （5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． （6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 2．常见的分类讨论问题有： （1）集合：注意集合中空集?的讨论． （2）函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论． （3）数列：由Sn求an分n＝1和n1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论． （4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论． （5）不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． （6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论． （7）排列、组合、概率中的分类计数问题． （8）去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 3．分类讨论的原则 （1）不重不漏． （2）标准要统一，层次要分明． （3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 热点一　由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 例1　（1）（2014·浙江）设函数f（x）＝若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是________． （2）在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________. 答案　（1）a≤　（2）或6 解析　（1）f（x）的图象如图，由图象知，满足f（f（a））≤2时，得f（a）≥－2，而满足f（a）≥－2时，得a≤. （2）当q＝1时，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，显然成立； 当q≠1时，由题意，得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1（舍去）． 当q＝－时，a1＝＝6.综上可知，a1＝或a1＝6. 思维升华　（1）由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；（2）运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． 　（1）已知函数f（x）＝满足f（a）＝3，则f（a－5）的值为（　　） A．log23 B. C. D．1 （2）已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1（p是常数），则数列{an}是（　　） A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对 答案　（1）C　（2）D 解析　（1）分两种情况分析，①或者②，①无解，由②得，a＝7，所以f（a－5）＝22－3＋1＝，故选C. （2）∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝（p－1）pn－1（n≥2）， 当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列； 当p＝1时，{an}是等差数列； 当p＝0时，a1＝－1，an＝0（n≥2），此时{an}既不是等差数列也不是等比数列． 热点二　由图形位置或形状引起的讨论 例2　（1）不等式组表示的平面区域内有________个整点（把横、纵坐标都是整数的点称为整点）． （2）设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________． 答案　（1）20　（2）或 解析　（1）画出不等式组表示的平面区域（如图）． 结合图中的可行域可知 x∈[－，2]，y∈[－2,5]． 由图形及不等式组，知 当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点； 当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点； 当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点； 当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点； 所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20（个）． （2）不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t