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计算共形几何 张威 应用数学1 引言 共形几何是纯数学中很多学科的交叉领域,比如黎曼曲面理论、微分几何、代数曲 线、代数拓扑、偏微分方程、复分析等等.它有很长的历史,至今在现代几何与现代物理中 仍然非常活跃.比如超弦理论中的共形场和理论物理中的模空间理论都是当今快速发展 的研究领域. 近些年来,随着三维数字扫描仪、计算机辅助几何设计、生物信息和医学成像的快 速发展,出现了越来越多的三维数字模型.因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用 这些模型.计算共形几何在数字几何处理中扮演了一个重要角色.它已经应用在很多重 要的领域,比如曲面修复、光顺、去噪、分片、特征提取、注册、重新网格化、网格样条转换、 动画和纹理合成.特别地,共形几何奠定了曲面参数化的理论基础,同时也提供了严格的 算法.计算共形几何还应用于计算机视觉中的人脸跟踪、识别和表情转换,医学成像中的 脑电图、虚拟结肠镜和数据融合,几何建模中的具有任意拓扑流形上的样条构造. 共形几何之所以如此有用是基于以下一些事实: ? 共形几何研究的是共形结构.日常生活中的所有曲面都有一个自然的共形结构,因 此共形几何算法非常普遍. ? 共形结构比黎曼度量结构更灵活、比拓扑结构更具有刚性.它能处理大量黎曼几何 不能有效处理的变换,这些变换还能保持很多拓扑方法会丢失的几何信息. ? 共形映射比较容易控制.比如,两个单连通封闭曲面之间的共形映射构成一个 6维 空间,因此只要固定 3个点,这个映射就是唯一的.这个事实使得共形几何方法在 曲面匹配和比较中非常有价值. ? 共形映射保持局部形状,因此在可视化方面有很好的应用. ? 所有的曲面都可以根据共形结构进行分类,而且所有的共形等价类形成一个有限 维流形.这个流形有丰富的几何结构,容易对其分析和研究.与之相反,曲面的等距 类形成一个难以分析处理的无穷维流形. 计算共形几何 ? 计算共形几何算法是以椭圆偏微分方程为基础的,而椭圆偏微分方程又是容易求 解而且稳定的,因此计算共形几何方法对于实际工程应用非常有用. ? 共形几何中,所有单连通曲面都能共形变换成某种标准空间:球面、平面、双曲空间. 也就是说,任何曲面都具有三种标准几何 (球几何、欧式几何、双曲几何)中的一种. 这样大部分三维数字几何处理任务都能转化成二维标准空间中的任务. 历史上,计算共形几何方法已经广泛应用于许多工程领域,然而绝大部分应用都基 于平面区域的共形映射.最近,随着数学理论的发展和计算能力的提升,计算共形几何方 法已经从平面区域推广到具有任意拓扑的曲面. 1.1 共形变换和共形结构 图 1:共形映射保持角度 (a) Circle packing (b) Checkboard 图 2:共形映射 根据 Fleix Klein的 Erlangen纲领,几何就是研究在特定的变换群下保持不变的空 间性质.共形几何就是研究保角变换群下的不变量.它介乎于拓扑和黎曼几何之间. 计算共形几何 共形映射就是保角映射,如图1所示.在无穷小邻域,共形映射就是放缩变换.它保 持局部形状,比如它将无穷小圆周映成无穷小圆周.如图2所示,这个 bunny曲面通过一 个共形映射映到平面.如果平面有一个 circle packing,则通过拉回得到 bunny曲面上的 一个 circle packing.如果给平面铺上棋盘格,则同样得到 bunny曲面的棋盘格修饰,其中 直角和正方形都是保持的. 曲面上的两个黎曼度量是共形的,如果它们定义的角度是相同的.共形结构就是指 曲面上度量的共形等价类,而黎曼曲面就是带有共形结构的光滑曲面.因此在黎曼曲面 上,我们可以度量角度,但不能度量长度.每一个带有度量的曲面都自动成为一个黎曼曲 面. 如果两个黎曼曲面之间存在共形映射,则称它们是共形等价的.显然,共形等价是 黎曼曲面间的一个自然的等价关系.共形几何的目的就是在共形等价意义下对黎曼曲面 进行分类,这就是所谓的模空间问题.给定一张光滑曲面,考察它上面的所有共形结构在 共形等价下的模,这个集合被称为曲面的模空间.对于具有正亏格的封闭曲面,模空间是 正维数的有限维空间. 1.2 基本任务 下面的问题是计算共形几何最基本的一些任务.这些问题是相互依赖的: 1. 共形结构 给定一张带有黎曼度量的曲面,计算它的内蕴共形结构的不同表示.一种方法是计 算它的 Abelian微分群,另一种方法是计算标准的黎曼度量. 2. 共形模 完全共形不变量称为黎曼曲面的共形模.正如前面所讲的,理论上存在一组有限的 数完全决定了黎曼曲面,这些称为黎曼曲面的共形模.一个比较难的问题是显式计 算任意给定曲面的共形模. 3. 标准黎曼度量 黎曼曲面的 uniformization定理揭示了每一个黎曼度量都共形等价于一个常 Gauss 曲率