三次函数性质总结.docVIP

三次函数性质的探索 ，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k0时函数单调递增；当k0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在[m，n]上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下： 　　 图1????????????????????????????图2 利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴上取得最小值； 当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义： 定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。 系列探究1：从最简单的三次函数开始 反思1：三次函数的相关性质呢？ 反思2：三次函数的相关性质呢？ 反思3：三次函数的相关性质呢？ （2012天津理）（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是 B （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 系列探究2：探究一般三次函数的性质： 先求导 单调性： （1）若，此时函数在R上是增函数； （2）若，令两根为且， 则在上单调递增，在上单调递减。 a0 a0 导函数 0 0 0 0 图 象 2．极值点的个数：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。 （1）若，此时函数无极值；三次函数在上不存在极值点。 （2）若，三次函数在上的极值点要么有两个。 且两根为且， 此时函数在处取极大值，简言之：波峰是为极大值 在处取极小值，简言之：波谷是为极小值 论证如下： 令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。 ①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2， 则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点； ②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增， 此时y=f（x）没有极值点； x (-∞,x0) x0 （x0，+∞) f/（x） + 0 + f(x) ↗ ↖ ③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。 3.奇偶性：函数当且仅当时是奇函数。 4．对称性：函数图象关于点中心对称（了解） 证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即 +， 整理得， 据多项式恒等对应系数相等,可得 且=， 从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； 证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故，得，。 所以，函数的对称中心是（）。 实际上：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。 由上又可得以下结论： 是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称. 证明 的图象关于对称，则 图象关于直线对称. 若图象关于直线对称，则图象关于点对称. 证明 图象关于直线对称，则， ， ， 图象关于点对称. 这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还