数学建模差分方程方法.pptVIP

第四章差分方程方法 在实际中许多变量是离散变化的，如人口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来解决离散型问题。 一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。 2.差分方程的平衡点与稳定性 因此矩阵应当为： 关于鱼群的差分方程为： X（t＋1）＝PX（t） （1） 为实现持续捕获，(1）式必须存在稳定解： X（t）＝PX（t） 由差分方程稳定性理论知其充要性为：对P的 所有特征根　　，有 最佳月捕捞强度系数：4龄鱼 3龄鱼 这说明该类鱼群不论开始鱼群数目如何，经过一定时间的持续捕获，总能使鱼群数目稳定下来. 可持续最佳捕获下，渔场中各年龄组鱼群数： * * 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) x(t) ~时刻t的人口, 人口(相对)增长率 r 是常数 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 如何预报人口的增长 今年人口 x0, 年增长率 r 基本假设 : 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。 对一数列，把数列中的 an 和前面的 ai(0≤i ≤n) 关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫做递推关系。 例： 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有 对兔子，试建立关于 的差分方程。 解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以 定义为fibonacci数列。 1.差分方程的解法 常系数线性齐次差分方程的解法 形如： 的差分方程，称为 的k阶常系数线性齐次差分方程，其中 为常数， ，方程: (1) (2) 称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。 例:求Fibonacci数的通项: 解 : 差分方程的特征方程为： 特征根: 是互异的，所以，得通解: 由初始条件 得 联立解得: 故 常系数线性非齐次差分方程的解法 定义：形如 ( 为常数， 的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程 对应的齐次差分方程为 定理： 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即 其中 是对应齐次差分方程的通解， 是非齐次差分方程的特解。 如何求非次差分方程的特解 对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (1) 若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0, 则称xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含k个任意常数的解称为(1)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特解. 若x0, x1, … , xk -1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现. 若有常数a是差分方程(1)的解, 即 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点. F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 二