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第五章 数学变换方法 §1 数学变换方法概述 一、数学变换方法的含义 所谓数学变换方法，就是在研究和解决数学课题时采取迂回手段来达到目的的一种方法，也就是把将要解决的问题先进行变换，使之转化。具体地讲，就是将复杂的问题通过变换转化成简单的问题，将难的问题通过变换转化成容易的问题，将未解决的问题通过变换转化已解决的问题。 利用变换方法解决数学问题是常用的一种最基本的方法，所以它是数学思维方法的一个组成部分。 二、数学变换方法的逻辑结构框图 数学变换方法的主要特点是灵活性、多样性。具体地讲，对同一个数学结构，其形变并非唯一，而是多种多样。因此，如果应用数学变换方法解决有关数学问题，就没有一个统一的格调和模式。尽管如此，单从其解决问题的逻辑结构框图来看，却有其相同或相似之处。即它们都具有如下相同的思路结构框图。 §2 数学变换方法的几种类型 一、恒等变换 恒等变换的特点是：将复杂的问题通过表达形式的变形转化成容易解决的若干简单问题。就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式．中学数学中的配方法、因式分解法、待定系数法等恒等变换，都起到将复杂（难、未知）的问题化归简单（易、已知）的问题的作用． 二、分割变换（分解与组合） 分割变换的主要特点是：将要解决的问题先“化整为零”分而治之，然后再“积零为整”。 例2 在三棱锥中有一条棱长为6,其余各棱长均为5,求这三棱锥的体积． 分 析 三、映射变换 映射变换的主要特点是：灵活性大，覆盖面广。它在几何、代数、分析等各个领域都有广泛的应用。 关系·映射·反演方法，简称为RMI方法。 关系·映射·反演方法就是借助于应用各种有效的映射变换手段去实现解题任务的普遍方法。由于它是数理科学的一种普遍的思想方法，带有一般的原则性，所以有时也称为“RMI原则”。数学中的RMI方法可简述如下： 简言之，RMI方法的全过程表现为： 关系结构——→映射——→定映——→反演——→得解 运用RMI方法时，重要的是寻求适当的映射与反演。常用的是：利用初等函数作为映射工具；通过坐标系寻求映射工具；利用复数与向量作为映射工具。 例3 如图，在平面直角坐标系中，A，B是y轴的正半轴上的两个定点，试在x轴的正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。 上述解法的结构框图如下： 四、幂级数变换 幂级数变换是组合数学及概论统计学中应用较广的一种变换方法。此方法的主要功能是：要研究或找出有关离散数列{an}的结构特征，可先利用这个数列作为系数构造一个幂级数，然后利用幂级数的特点反回来确定其系数的结构。其思路结构框图是： 例4 利用幂级数变换证明： 五、参数变换法 不论在初等数学还是在高等数学的解题中，参数变换方法的应用也比较广泛。 所谓参数变换法，就是在解题时先引入辅助性的新变数，人们称这种变数为参数；然后把要证明或求解的关系式转化为含有参数的关系式；最后再消去参数，从而得到问题的解。其思路结构框图是： * 给定一个含有目标原象x的关系结构R，如果能找到一个可定映的映射f，将R映入或映满R＊，则可从R＊通过一定的数学方法把目标映象y=f(x)确定出来，这样，原来的问题就得到了解决。RMI方法用框图表示如下： *