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数学物理方程与特殊函数 第3章行波法与积分变换法 第三章 行波法与积分变换法 一 行波法 适用范围： 无界域内波动方程，等… 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。 一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。 a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波 4 解的物理意义 b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0 解：将初始条件代入达朗贝尔公式 5 达朗贝尔公式的应用 影响区域 决定区域 依赖区间 特征线 特征变换 行波法又叫特征线法 6 相关概念 7 非齐次问题的处理 利用叠加原理将问题进行分解： 利用齐次化原理，若 满足： 则： 令： 从而原问题的解为 双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 特征方程 例1 解定解问题 解 例2 求解 解：特征方程为 令： 例3 求解Goursat问题 解：令 补充作业： 解定解问题 二 积分变换法 1 傅立叶变换法 傅立叶变换的性质 微分性 位移性 积分性 相似性 傅立叶变换的定义 偏微分方程变常微分方程 例1 解定解问题 解：利用傅立叶变换的性质 例2 解定解问题 解：利用傅立叶变换的性质 2 拉氏变换法 拉普拉斯变换的性质 微分性 相似性 拉普拉斯变换的定义 偏微分方程变常微分方程 例3 解定解问题 解：对t求拉氏变换 例4 解定解问题 解：对x求傅氏变换 对t求拉氏变换 数学物理方程与特殊函数 第3章行波法与积分变换法